经典力学习题课1－质点运动学.ppt

两边积分得 第1次习题 教材第一章练习（P46） 1-6、1-8、1-10、1-12 、 1-13、1-14、 1-15 、1-16 * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * 《经典力学》（上）习题课 第1次 质点运动学 题1.1 路灯离地面高度为H，一个身高h的人，在灯下水平路面上以匀速步行，步行速度值为v0 解：建坐标如图。任意时刻影子长为l，影子移动的速度为 求：当人与灯距离为 x人时,头顶在地面的影子移动的速度v。 由图可得 则 题1.2 如图所示，椭圆规的AB杆上A、B两点分别沿oy槽、ox槽移动，且A点以匀速v0运动。试求杆上C点的运动轨迹，速度和加速度。 l1 l2 θ A B C O y x 1.2题图 【解】 求轨迹 设t时刻AB杆与x轴的夹角为θ，则C点坐标为 在以上两式中消去θ得 C点轨迹为椭圆 (1) (2) 求速度和加速度 C点得速度分量为 (3) (4) 按题意 vA＝v0，由(4)式得 代入 (3)式得 C点的速率 (5) (6) (7) 将(3)式对时间求导，得C点的加速度 由于杆的A端作匀速直线运动，aA＝0 或 aAy＝0，而 (8) (9) 由此得 (10) (11) (12) 对（6）式可直接求导得到以上结果 题1.3 以速度V和地平面成θ角发射一火箭，在驱动力、空气阻力、重力三者作用下使火箭作恒定速率的曲线运动。已知驱动力和空气阻力所产生的加速度仅有切向分量。求火箭的运动轨迹。 x o g a’τ v θ θ θ0 v0 y θ dy dx ds 题1.3图 【解】设驱动力与阻力所产生的加速度为a’，火箭的加速度为 其切向分量和法向分量分别为 因为火箭的速率恒定，故有 （1） 即有 （2） 式中ρ是火箭所在处的曲率半径。 代入（2）式得 （3） 将（3）式积分，考虑初始条件，当t＝0时，x＝0，θ＝ θ0。可得 又因为 （4） 对上式两边积分，并考虑当 x ＝0时 y＝0，可得 题1.4 一气球以v0速率自地面开始上升，由于风的影响，气球的水平速度以vx=by的规律变化，其中b为常量，y是气球离地面的高度（x轴取地平面向右的方向） 。试求（1）气球的运动轨迹方程（2）气球沿运动轨迹的切向加速度和曲率半径与y的关系 x y o 气球 题1.4图 【解】（1）取直角坐标系o－xy。设t＝0时，气球位于地面坐标原点处。 已知 vy= v0 , vx = by 即有 y = v0t (1) 则 由 积分可得 (2) 气球的运动方程 (3) 消去t可得轨迹方程 (4) （2）气球的速率 加速度 (5) (6) 切向加速度 (7) 法向加速度 得到 (8) (9) 题1.5 一细杆绕o端点在平面内以匀角速旋转，角速度为ω。在杆上套有一小环（可看作质点）相对于杆作匀速运动，速率为u。时间t＝0时小环位于端点o处。求小环的运动轨迹及在任意时刻小环的速度和加速度。 【解】取平面极坐标系。设t＝0时，杆与极轴重合。 任意t时刻 消去t 小环的轨迹是阿基米德螺旋线 径向速度 横向速度 速率 小环的加速度 径向加速度 横向加速度 加速度 题1.5图 题1.6 一条笔直的河流，宽为d，河水以恒定速度u流动。小船从河岸A点出发，为了到达对岸的O点，它相对于河水以匀速率v（v＞u）运动，无论在何处，小船的运动方向始终指向O点。已知AO= r0，∠AOP=φ0。求小船的运动轨迹。若O点刚好在A点的正对面（即AO=d）结果又如何？ 题1.6图 【解】取平面极坐标系。极点与O重合，极轴与河岸OP重合。小船的位置由r、φ确定。 径向速度与横向速度分别为 两式相除得 分离变量 积分 小船的运动轨迹方程 若O点在A点正对面，则r0＝d，φ0＝π/2。则有 题1.7 质点在有心力的作用之下运动，此力的量值为质点到力心距离r的函数，而质点的速率与此距离成反比，即 v = a/r。如果 ，求质点的轨迹方程。 设当 r = r0时，θ=θ0= 0。 解题思路：要求质点的轨迹方程，即求 r 关于θ的函数，利用速度的平方等于径向速度和横向速度的平方之和，求得关于 的一阶微分方程。 而 即 * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *