第十一讲：20世纪数学概观 I.ppt

第十一讲20世纪数学概观 I 国际数学家大会 纯粹数学的发展 数学基础大论战 国际数学家大会 1897年国际数学家大会 国际数学家大会 瑞士苏黎世工业大学 （1897年ICM在此举行） 国际数学家大会 国际数学家大会 莫斯科1966 国际数学家大会 国际数学家大会 国际数学家大会 国际数学家大会 菲尔兹奖(1936- ) 国际数学家大会 菲尔兹奖(1936- ) 国际数学家大会 菲尔兹奖(1936- ) 国际数学家大会 菲尔兹奖(1936- ) 国际数学家大会 菲尔兹奖(1936- ) 国际数学家大会 菲尔兹奖(1936- ) 国际数学家大会 菲尔兹奖(1936- ) 结构数学与统一的数学 更高度的抽象 希尔伯特(德, 1862-1943)的抽象思维及公理方法的产物 经典代数学: 求解代数方程和代数方程组 抽象代数学: 公理化方法研究具有代数结构的集合 创立者: 诺特(德, 1882-1935)与阿廷(奥, 1898-1962) 范?德?瓦尔登(荷, 1903-1996)《近世代数学》(1930-1931) ——形成 1736年欧拉(瑞, 1707-1783)解决哥尼斯堡七桥问题 来源 数理逻辑 数理逻辑 第十一讲思考题 考核要求 皮亚诺(意, 1858-1932) 以简明的符号及公理体系为数理逻辑和数学基础的研究开创了新局面 1889年《算术原理新方法》完成了整数的公理化处理, 给出了自然数公理 1895-1908年5卷本的《数学公式汇编》试图从逻辑记号的若干基本公理出发, 建立整个数学体系, 希望将数理逻辑的概念应用在数学各分支的所有已知结果上 对罗素(英, 1872-1970)及布尔巴基学派的工作产生影响 数学基础 数学基础 逻辑主义 罗素(英, 1872-1970) 受弗雷格(德, 1848-1925)和皮亚诺(意, 1858-1932)的影响 1903年《数学的原理》, 1910－1913年《数学原理》 数学就是逻辑 1920年来中国讲学一年, 1950年获得诺贝尔文学奖 直觉主义 布劳威尔(荷, 1881-1966) 受庞加莱(法, 1854-1912)的影响 1907年《论数学基础》 数学独立于逻辑，数学的基础是“原始知觉” 构造主义 数学基础 形式主义纲领 1900年希尔伯特问题: 连续统假设；算术公理的相容性 1922年提出希尔伯特纲领: 将数学形式化, 构成形式系统, 通过有限的证明方法, 借助超限公理, 导出无矛盾的数学系统 1928年提出4个实施步骤: 希尔伯特(德, 1862-1943) 分析的无矛盾性 选择公理的无矛盾性 算术及分析形式的完全性 一阶谓词逻辑的完全性 三大学派 逻辑主义 直觉主义 形式主义 罗素 (英, 1872-1970) 布劳威尔 (荷, 1881-1966) 希尔伯特 (德, 1862-1943) 数学基础 《数学原理》 《论数学基础》 《数理逻辑基础》 1903年罗素悖论. 把集合分成两类 ： 凡不以自身为元素的集合称为第一类集合，凡以自身做为元素的集合称为第二类的集合，每个集合或为第一类集合或为第二类集合．设M表示第一类集合全体所成的集合．若M是第一类集, 则M?M, 由M的定义, M?M, 矛盾; 若M是第二类集, 则M?M, 由M的定义, M?M, 矛盾. 数学基础 公理集合论 康托(德, 1845-1918)意识到不加限制地谈论“集合的集合”会导致矛盾 . 1900年巴黎ICM上庞加莱(法, 1854-1912)说: 绝对的严密性已经达到了. 集合论矛盾的出现，形成第三次数学危机，动摇了整个数学的基础, 导致了策梅罗系统的诞生. 罗素(英, 1872-1970) 策梅罗(德, 1871-1953) 数学基础 公理集合论 1963年柯恩(美, 1934-2007, F)证明了连续统假设的独立性 哥德尔(奥-美, 1906-1978) 科恩(美, 1934-2007) 公理集合论的主要开创者 1904年发表“每一集合都能够被良序地证明”, 提出了良序定理, 选择公理 1908年给出策梅罗系统 1921-1923年费兰克尔(德 , 1891-1965)提出“替换公理”, 1925年冯 ? 诺伊曼(匈-美, 1903-1957)提出“正则公理” 1929-1930年策梅罗确定为“策梅罗-费兰克尔公理系统”(ZF系统, ZFC系统) 1938年哥德尔(奥-美, 1906-1978)证明了选择公理、连续统假设的相容性 数学基础 哥德尔时代 哥德尔(奥-美, 1906-1978) 亚里士多德、莱布尼茨以来最伟大