24.1.2 垂直于弦的直径（上课用).ppt

理由是: 连接OA,OB, 思考M是弧AB的中点，过点M的弦MN交AB于点C，若⊙O的半径为4 cm,MN=4 cm,求∠ACM的度数. · · A B M N C · O 课堂小结： 垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧. 垂径定理 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧. 推论 圆是轴对称图形,热核一条直径所在直线都是它的对称轴. 如图（1），AB是⊙O的直径，CD是弦，AE⊥CD于E，BF⊥CD于F，EC和DF相等吗？请说明理由。 一变：直线EF与AB相交于点P（如图（2）），其它条件不变，原结论是否成立？为什么？ P 拓展 二变：当EF∥AB时（如图（3）），其它条件不变，情况又怎样？ 三变：当EC⊥CD，FD⊥CD时（如图（4）），AE与BF有什么关系？并说明理由。 O . A B 24.1.2垂直于弦的直径 E C D 复习提问: 1、什么是轴对称图形？我们学过哪些轴对称图形? 如果一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫轴对称图形。如线段、角、等腰三角形、矩形、菱形、等腰梯形、正方形. 2、我们所学的圆是不是轴对称图形呢？ 圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它们的对称轴. . 看一看 C E D O . A B (1)在直径CD的旋转过程中，AE与BE、AC与BC、 AD与BD的数量关系发生了怎样的变化？ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ AE=BE； AC=BC； ⌒ ⌒ AD=BD ⌒ ⌒ 已知AB是弦，CD是直径，AB与CD交于E点 此时AB与CD有何关系？ 已知：在⊙O中，CD是直径，AB是弦,CD⊥AB，垂足为E. 求证:AE＝BE,AC＝BC,AD＝BD. ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ C O A E B D 动动脑筋 ． 则OA=OB. 在Rt△OAM和Rt△OBM中, ∵OA=OB，OM=OM， ∴Rt△OAM≌Rt△OBM. ∴AM=BM. ∴点A和点B关于CD对称. ∵⊙O关于直径CD对称, ∴当圆沿着直径CD对折时,点A与B重合, ⌒ ⌒ AC和BC重合, ⌒ ⌒ AD和BD重合. ⌒ ⌒ ∴AC =BC, ⌒ ⌒ 　AD =BD. 垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧. 垂径定理 C O A E B D . A B O O . A B E E 如图1,OE⊥AB于E,则AE=BE吗? 图1 图2 如图2,CD是直径,则AE=BE吗? C D 如图3,CD ⊥AB,则AE=BE吗? 图3 ． O A B C D E E 垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。 题设 结论 （1）直径 ｝ （3）平分弦 ｛ （2）垂直于弦 （4）平分弦所对的优弧 （5）平分弦所对的劣弧 （1）直径 ｝ （3）平分弦 ｛ （2）垂直于弦 （4）平分弦所对的优弧 （5）平分弦所对的劣弧 B 已知:CD是直径,AB是弦,并且CD平分AB 求证：CD⊥AB，AD＝BD，AC＝BC ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ . O A E D C 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧. 推论 想一想 垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧. 垂径定理 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧. 推论 例1. 已知：如图，AB是以O为圆心的两个同心圆的直径， AB交小圆于C，D两点, 求证：AC＝BD。 讲解 A B D C O · 变题:若把圆中直径AB向下平移变成非直径的弦, 是否仍有AC＝BD呢? . A C D B O E