3 电动力学2-3.ppt

3.一个内径和外径分别为R2和R3的导体球壳，带电荷为Q 。同心地包围着一个半径为R1的导体球（R1R2)，使半径R1的导体球接地，求空间各点的电势和这个导体球的感应电荷。 Solution: 第一步：分析题意，找出 定解条件 根据题意，具有球对称性， 电势不依赖于极角 和方位角 ，只与半径r有关。 即 故定解条件为： 边界条件： (i)因为导体球接地，有 (ii)因整个导体球壳为等势体，有 (iii)球壳带电量为Q，根据Gauss theorem 得到 第二步，根据定解条件确定通解和待定常数 该问题具有球对称性，故可取导体球壳内、外空间的电势： 由（3）式得 从而得到 由 （4）式得 由（5）式得 即 将（13）式代入（12）式，即得 令 因此得到： 将A、B、C、D系数代入到（6）、（7）式，即得电势的解： 导体球上的感应电荷为 4. 介电常数为ε的均匀介质球，半径为R，被置于均匀外场 中，球外为真空。求电势分布。 Solution: 第一步：根据题意， 找出定解条件 由于这个问题具有轴对称性，取极轴z沿外电场 方向，介质球的存在使空间分为两个均匀区域—球内、球外。两区域内都没有自由电荷。因此电势 满足Laplace‘s equation。以 代表球外区域的电势， 代表球内区域的电势，故 第二步：根据定解条件确定通解和待定常数 由于问题具有轴对称性，即 与 无关，故 由（2）式得 比较两边系数，得 由（6）式得 从中可见 故有： 再由（3）、（4）式或者（7）、（8）式得到： 比较 的系数，得 由（15）、（16）式给出： 由（13）、（14）式给出 由此得到电势为 ▲相应地，球内、外的电场强度为 其中 第二项和第三项之和实际上是一个等效的放在原点的偶极子在球外产生的电场，其电偶极矩为 因此，球外区域的电场为： 而 同理得到 由此可见，球内的场是一个与球外场平行的恒定场。而且球内电场比原外场 为弱，这是极化电荷造成的。 ▲在球内总电场作用下，介质球的极化强度的 ▲介质球的总电偶极矩为 * * §2. 3 拉普拉斯方程的解 —— 分离变量法 、分离变量法 四、应用实例（习题课） 三、解题步骤 二、拉普拉斯方程的解在坐标系中的形式 机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、拉普拉斯方程在几种坐标系中解的形式 1、直角坐标 （1）令 令 机动 目录 上页 下页 返回 结束 一、分离变量法 （2）若 （3）若 ，与 无关。 注意：在（1）、（2）两种情况中若考虑了某些边界条件， 将与某些正整数有关，它们可取1，2，3，… ，只有对它们取和后才得到通解。 机动 目录 上页 下页 返回 结束 柱坐标 讨论 ，令 有两个线性无关解 、 单值性要求 ， 只能取整数，令 若 ， 机动 目录 上页 下页 返回 结束 3．球坐标 ——缔合勒让德函数（连带勒让德函数） 若 不依赖于 ，即 具有轴对称性，通解为 -----为勒让德函数 若 与 均无关， 具有球对称性， 通解： 机动 目录 上页 下页 返回 结束 三．解题步骤 根据具体条件确定常数 选择坐标系和电势参考点 坐标系选择主要根据区域中分界面形状，参考点主要根据电荷分布是有限还是无限； 分析对称性、分区写出拉普拉斯方程在所选 坐标系中的通解； （1）外边界条件： 电荷分布有限 机动 目录 上页 下页 返回 结束 注意：边界条件和边值关系是相对的。导体边界可视为外边界，给定 （接地 ），或给定总电荷 Q，或给定 。 电荷分布无限，电势参考点一般选在有限区。如 （直角坐标或柱坐标），电势参考点可选在坐标原点。 均匀场中， （2）内部边值关系：介质分界面上 一般讨论分界面无自由电荷的情况 机动 目录 上页 下页 返回 结束 四．应用举例 1、两无限大平行导体板，相距为 ，两板间电势