第五章 轴对称问题.ppt

* 第五章 轴对称问题 第二节 单元分析 第一节 轴对称问题的弹性力学基本方程 第三节 等效结点载荷计算 第一节 轴对称问题的弹性力学基本方程 轴对称问题是弹性力 学空间问题的一个特殊情 况。如果弹性体的几何形 状、约束以及外载荷都对 称于某一轴，则弹性体内 各点所有的位移、应变及 应力也都对称于此轴，这 类问题称为轴对称问题。 在离心机械、压力容器、 矿山井架等中经常遇到轴 对称问题。 图5-1 轴对称结构 轴对称结构体可以看成由任意 一个纵向剖面绕着纵轴旋转一周而形成。此旋转轴即为对称轴，纵向剖面称为子午面，如图5-1表示一圆柱体的子午面abcd被分割为若干个三角形单元，再经过绕对称轴旋转，圆柱体被离散成若干个三棱圆环单元，各单元之间用圆环形的铰链相连接。对于轴对称问题，采用圆柱坐标较为方便。以弹性体的对称轴为z轴，其约束及外载荷也都对称于z轴，因此弹性体内各点的各项应力分量、应变分量和位移分量都与环向坐标θ无关， 图5-1 轴对称结构 只是径向坐标r和轴向坐标z的函数。也就是说，在任何一个过z轴的子午面上的位移、应变和应力的分布规律都相同。因此轴对称问题可把三维问题简化为以（z，r）为自变量的二维问题。 由于轴对称性，弹性体内各点只可能存在径向位移u和轴向位移w。此时，位移u、w只是r、z的函数，而环向位移v=0。即： （5-1） 轴对称问题的物理方程可写为： （5-2） 其中：[D]为轴对称问题弹性体的弹性矩阵 第二节 单元分析 由于轴对称性，我们只需分析任意一个子午面上的位移、应力和应变情况。其有限元分析计算步骤和平面问题相似。首先进行结构区域的有限元剖分。采用的单元是三角形、矩形或任意四边形环绕对称轴z旋转一周而得到的整圆环，通常采用的单元是三角形截面的整圆环。在单元类型确定之后，单元剖分可以在子午面内进行，如图5-1表示的abcde子午面被分割为若干个三角形，绕对称轴z旋转后即形成若干个三棱圆环单元。 一、单元剖分及位移模式 这样，各单元在子午面rz平面上形成三角形网格，就如同平面问题中在xy平面上的网格一样。采用位移法有限元分析，其基本未知量为结点位移。单元的结点位移列阵如下： ri i 图5-2 m j rj rm v u z 相邻的单元由圆环形的铰链相连接。单元的棱边都是圆，故称为结圆。每个结圆与rz平面的交点称为结点。 如图5-2中的 i, j, m点。 （5-3） 对于每一个环形单元，需要假定其位移模式。仿照平面三角形单元，取线性位移模式 类似于平面三角形单元的推导，即将单元的结点坐标 及结点位移 代入式（5-4）中,可以解出六个待定系数 。再将这些待定系数回代到式（5-4）中，就可以得到由结点位移和形函数所表示的单元内任一点的位移表达式 （5-5） （5-4） 其中形函数 （5-6） 而 （5-7） （5-8） （5-9） （5-10） （5-5）式也可以写成矩阵形式 (5-11) 其中：[I]为二阶单位矩阵 因此，形函数矩阵的表达式为 二、单元应变与应力 为了将单元任意点的应变和应力用结点位移表示，可按以下步骤推导。 将式（5-5）代入轴对称问题的几何方程，便得到单元体内的应变，即 （5-12） 式中 （i，j，m） 上式可简写成 （5-13） 其中 [B]为三角形断面环元的应变矩阵，它可写成分块矩阵形式[B]=[Bi Bj Bm] （ i，j，m） 可以看出，单元中的应变分量，都是常量，但是环向应变不是常量，而是坐标r和z的函数。为了简化计算和消除由于结点落在对称轴上使r = 0而引起的计算溢出，通常采用单元的形心坐标值 来近似代替（5-12）中的r，z值，即令 于是 有限元网格确定后，各单元的就是定值。这样就可以把轴对称问题的各单元看成是常应变矩阵，所求得的应变是形心处的应变值。当轴对称结构的单元划分比较小时，这种近似所引起的误差是很小的。特别当结构上各单元的形心离Z轴较远时，产生的误差就更小了。 单元的各应力分量可通过将式（5-12）代入轴对称问题的物理方程得到 （5-14） 式中：[S]是三角形截面环形单元的应力矩阵。它的子矩阵为 其中 从（5-14）式可知，只有剪应力在单元中是常数，而其他三个正应力在单元中都不是常数，与坐标r和z有关。同样采用形心坐标和来