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第三章 刚体力学 4．主矢和主矩 对于一个空间任意力系，可将各个力向一个点 简化，最后在 点可得到一个合力和一个合力偶。其中， 点上的合力称为主矢，记 ；合力偶矩（矢量）称为对 点的主矩，记 ； 点称为简化中心。 （2）刚体运动微分方程 对于一个刚体，设其质心为 C 设一定坐标系 S ：坐标原点为 O 动坐标系 ：坐标原点为 C 其中， 随质心 C作平动 刚体所受的合外力可向一点简化，设简化中心为质心 ，则在质心 上可得到一个主矢 ，一个主矩 。 ∴ 质心 C 的动力学方程为： 其中， 为质心对 点的位矢，（ ：质心加速度） F 为合外力向质心简化后得到的主矢。 上式的分量式为： 另外，由对质心 C 的动量矩定理，得 其中， 为刚体在 系中各质点对于质心 的动量矩的矢量和 为合外力对于质心 的合外力矩矢量，即合外力向质心 简化后得到的主矩 上式的分量式为 ∴ 刚体的动力学方程共有 6 个，而如前所述，描述刚体在空间中的运动需要 6 个独立变量 ∴ 6 个动力学方程可以完全确定刚体的运动 * §2．5 两体问题 前面讲过行星运动时，假设太阳是固定不动的，而实际上太阳与行星在万有引力作用下都有运动，故 相应的公式需做一定修改。 这里，可将太阳、行星看作 一个质点组，如图所示。 其中， 为固定坐标系， 为固定点， 为太阳和行星组成的质点组的质心。 太阳 ： ， ， 行星 ： ， ， 对于太阳，有 其中， ， （太阳 所受力与 方向一致） ：行星相对于太阳的位矢 对于行星，有 （所受力与 方向相反） 两式相加，有 或 为质心，∴有 即 ∴ 结论（1）： ，质心是按惯性运动的 ∵ 质心C作惯性运动 ∴ 建立在C上的坐标系为惯性系 ∴ 对行星来说，其对C点的动力学方程为 ∵ 为质心，，∴ ∴有 ，其在 上的投影为 ，即 ∴ ∴ 即 比较 行星相对于质心 的动力学方程 假设太阳固定不动时行星相对于太阳的动力学方程 由上式可知，行星绕质心将作圆锥曲线运动，太阳也是如此。 结论（2）：太阳与行星都绕质心作圆锥曲线运动。 由 可知 ：行星相对于太阳的位矢 ∵ ∴ 即 上式可与下式比较 假设太阳不动时得到的行星相对于太阳的动力学方程 行星对于太阳的动力学方程 其中， ：与行星质量 有关 式 还可写为 令 折合质量 则 总结：上述问题考虑到了行星和太阳之间的相互吸引，故称为两体问题。 习题： 2.2) 如自半径为 的球上，用一与球心相距为 的平面，切出一球形帽，求此球形帽的质心。 解：建立坐标系 如图所示。 对称性，∴ 球形帽的质心一定在 轴上。 取球形帽上一个薄片，其平行于 面，并且距离 面为 ，薄片的厚度为 。 薄片的体积为: ∴ ∴薄片的质量为 球形帽总质量为 ∴ 球形帽质心的坐标为 2.3) 重为 的人，手里拿着一个重为 的物体，此人用与地平线成 角的速度 向前跳去，当他达到最高点时，将物体以相对速度 水平向后抛出。问由于物体的抛出，跳的距离增加了多少？ 解：在地面上建立定坐标系如图 设人到达最高点时抛出 后，绝对速度为 ，而抛出的重物 的绝对速度为 水平方向上系统（人和重物）不受外力， ∴ 最高点处系统动量守恒，即 ∴ ∴人水平方向速度增量为 ∴跳的距离增量为 其中, 为人从最高点落地的时间。 在最高点处，有 ∴ ∴ 刚体 §3．1 刚体运动的分析 （1）描述刚体位置的独立变量 ? ? :质点组内任何两个质点间的距离不会因为力的作用而发生改变的这种特殊的质点组称为刚体。 提出问题：确定刚体在空间的位置，需要几个独立变量？ 是刚体，∴ 刚体内找出3个点（不在一条直线上）就可确定其位置。其中，确定一个质点的位置需要三个独立变量，则确定三个质点位置共需要9个变量。 但刚体三个质点间的距离为常数，∴ 有三个约束方程 ∴确定刚体在空间中的位置，所需独立变量的个数为 （2）刚体运动的分类 1．平动 特点：刚体中所有质点具有相同的速度和加速度 ∴ 只用一个质点就可以描述整个刚体的运动 一般为质心 ∴ 描述平动刚体的独立变量的个数为 2．定轴转动 转动轴 特点：刚体运动时，其中有两个质点是固定不动的， 其它质点都