第一章（场论数学基础）.ppt

1.1 矢量代数 1. 基本概念： 定义、矢量加法规则 2. 相等条件： 3. 矢量在各个坐标系中表示法 矢量一般用粗体a,b表示，几何上可用带箭头的线段表示，书用 表示一个矢量，AB表示矢量的模 (1)单位矢量与矢量的分量 书上用 表示单位矢量，一般也用 表示单位矢量 3. 矢量在各个坐标系中表示法(1)单位矢量与矢量的分量 直角坐标表示： ex , ey , ez 或i ，j ，k 球坐标系表示： er , eθ , eα 柱坐标系表示： er , eθ , ez 场论中经常用 表示 方向的单位矢量 如 果： A= Axex + Ayey + Azez ，B= Bxex + Byey + Bzez A+B= (Ax + Bx )ex + ( Ay + By ))ey + ( Az + Bz)ez 5.矢量的标积(点乘或内积) 5.1 定义： 6.矢量的矢量积(叉乘或外积) 6.1 定义： 6.矢量的矢量积(叉乘或外积) 7.矢量的三重积 散度性质 旋度性质 平面矢量场的旋度和格林公式 直角坐标表达式： 上式称在z方向的方向旋度 格林公式 例子、 旋度：旋度是一个矢量。若以符号 rot A 表示矢量 A 的旋度，则其 方向是使矢量 A 具有最大环量强度的方向，其大小等于对 该矢量方向的最大环量强度，即 式中 rot 是英文字母 rotation 的缩写，en 为最大环量强度的方向上的单位矢量，?S 为闭合曲线 l 包围的面积。上式表明，矢量场的旋度大小可以认为是包围单位面积的闭合曲线上的最大环量。 * * 第一章 场论数学基础 重 要 内 容 梯度、散度、旋度、亥姆霍兹定理 矢量代数 2. 标量场的方向导数与梯度 3. 矢量场的通量与散度 4. 矢量场的环量与旋度 5. 几个常用的积分公式 6. 正交曲面坐标系 A B 模相等，矢量平行或一直线上，指向一致 (2) 矢量在各坐标系中的表示法： 直角坐标表示： 球坐标系表示： A=Arer + Aθeθ + Aαeα 柱坐标系表示：A=Arer + Aθeθ + Azez A= Axex + Ayey + Azez 或 A= Axi + Ayj + Azk (1) 平行四边形法则 设有 (若起点不重合, 可平移至重合). 作以 为邻边的平行四边形, 对角线向量, 称为 的和, 记作 4 矢量代数加法运算 (2) 三角形法则 将 之一平行移动,使 的起点与 的终点重合, 则由 的起点到 的终点所引的向量为 矢量加法的运算规律. (1) 交换律: (2) 结合律: 5.2 基本性质： 5.3 直角坐标系中表达式： A.两矢量平行时 B.两矢量垂直时 C.交换律，分配律，结合律 5.4 两矢量间夹角： 6.2 基本性质： 两个矢量A和B，夹角为θ＝（ A，B ）， 0≤ θ ≤π，我们把大小为 |A||B|sin θ ，方向为A转到B按右手法则确定的垂直于 A ，B确定的平面矢量C，叫做A与B的矢量积，记做C = A×B ，它的模为： |C| ＝|A||B|sin （ A，B ） 注意： |C| 为A，B 平行四边形面积 A.两矢量平行时 B.两矢量垂直时 C.交换律，分配律 A×B= -B×A A×(B+C)= (A×B)+ (A×C) 6.3 直角坐标系中表达式： 7.1 矢量的混合积（矢量三重纯量积）： 几何意义：以3矢量为边的平行六面体体积 几何意义：以3矢量为边的平行六面体体积 A B C BXC 结论： (a) (b) 三矢量共面充要条件 7.1 矢量的混合积（矢量三重纯量积）： 7.2 三矢量的矢量积 8 矢量的求导： 1. 标量场的方向导数 方向导数:标量场在某点的方向导数表示标量场自该点沿某一方向 上的变化率。 例如标量场 ? 在 P 点沿 l 方向上的方向导数 定义为 P l ? 1.2标量场的方向导数与梯度 a.直角坐标中表达式多元函数微分学有函数全微分： 1. 标量场的方向导数 b.方向导数在直角坐标中表达式： 例子1： 设函数Z=X2Y,L是由点（1，1）与X轴Y轴的正