理论力学电子教案16,17,18.ppt

第三章 刚体力学 （3）平面平行运动动力学 设一作平面平行运动的刚体，通过质心C 作一薄片，薄片平行于固定平面，如图。 设三组坐标： ：固定坐标 动坐标 ：固着在薄片上，随刚体绕 点转动。 动坐标 ：原点在 点，随质心一起平动 （ 始终与 平行）。 刚体运动 = 质心C的平动 + 绕质心C的转动 坐标 的平动 动坐标 绕通过 点的 轴的转动 刚体运动 = 质心C的平动 + 绕质心C的转动 坐标 的平动 动坐标 绕通过 点的 轴的转动 质心 平动满足的动力学方程为（ ） （ ， 分别为 在 ， 轴的投影） 刚体绕质心 的转动 动坐标系 绕 轴作定轴转动，∴ 有 以上三个方程可解三个未知量。 另外，还有辅助方程 （刚体动能）: 若只有保守力对刚体作功，则有机械能守恒律 恒量 辅助方程 §3．8 刚体绕固定点的转动 （1）定点转动运动学 定点转动：刚体内只有一点保持不动。 刚体绕转动瞬轴的转动角速度为 （沿转动瞬轴方向）， 在动坐标系 中投影分别为 ， ， ，它们可用三个欧勒角（ ， ， ）来表示 * §3．5 转动惯量 （1）刚体的动量矩 设一刚体如图，在某一时刻沿一瞬时轴以 作定点转动。 设刚体上一质点 ，其对定点 的位矢为 ，速度为 ，质量为 ，质点 对定点 的动量矩为 整个刚体对定点 O 的动量矩为 这里， ∴ 可证： ∴ 刚体对定点的动量矩的矢量式 注意： 一般地， 与 的方向并不一致。 可在如图坐标系下投影，即 ∴ 而 同理，可得 令 则有 刚体对定点的动量矩的分量 如上图所示，质点的动能为 （2）刚体的转动动能 ∴ ∴ 刚体的转动动能为 （3）转动惯量 刚体的转动动能还可写为 令 其中， 刚体绕转动瞬轴的转动惯量 — 质点 到转动轴的垂直距离 关于转动惯量 I ： 1）与刚体的总质量m有关，m越大， I 越大； 2）与刚体质量分布有关，质量分布离转轴越远，I越大。 设一个刚体，质量为m ，转动惯量为I 。若刚体的转动效果与一个质量为m 的质点等效，则有 其中，k 为质点到转轴的垂直距离。 ∴ ：刚体对转动轴的回转半径。 另外，还有平行轴定理 （4）惯量张量和惯量椭球 定点转动时，刚体对定点O的动量矩为 其中 对于质量连续分布的刚体，有 上次讲到，刚体转动动能公式为 其中， ， ， — 轴转动惯量（刚体分别 、 、 轴转动时的转动惯量） ， ， — 惯量积 ① ② 其中， 这里，可设 ∴ ， ， ，将之代入①，并与②比较，得 上式可写成矩阵的形式 其中， 为沿角速度矢量方向上的单位矢量。 可令 :刚体对定点O 的惯量张量． 其中的系数称为惯量系数． 讨论： 1）I 中的系数为点（质点）坐标的函数，若采用固定坐标系来描述质点坐标，则质点坐标是随着刚体转动而变化的，因此 I 中的系数也跟着改变。但若将坐标系固结在刚体上，则质点坐标不随刚体转动而变化，而 I中的系数也将是常数，这对于研究问题比较方便。 2）若将坐标系固结在刚体上，则惯量张量中的系数为常数，但坐标轴取向不同，其中得到的对应的系数值也将不同。如果可以找到这样一组坐标轴（互相正交），在所确定的坐标系下计算得到的惯量系数中惯量积均为零，这样的一组坐标轴（3个）称之为惯量主轴，所对应的轴转动惯量称之为主转动惯量。 在惯量主轴坐标系下，有 ， ， — 主转动惯量 在此种情况下，所研究的问题就得到了简化。 例如，刚体绕定点转动的动量矩为 刚体的定点转动动能为 （5）惯量主轴及其求法 1）数学求法（略） 2）刚体若为均匀刚体（密度处处相等），且刚体有对 称轴．则此对称轴就是刚体的惯量主轴。 §3．6 刚体的平动与绕固定轴的转动 独立的动力学方程 （1）平动 （2）定轴转动 运动学． 描述运动时只需一个独立变量 设一定轴转动，以定轴为 轴（其正向与 转向一致） 质点 的线速度为 质点 的加速度为 法向加速度： 切向加速度： 动力学． 设刚体在主动力 ， ，… ，作用下，绕固定轴转动。若设固定轴为 轴，则由动量矩定理，有 其中， — 刚体对于 轴的动量矩． — 合外力对 轴力矩的代