第3章_集合(2009-2010-02).ppt

3.4集合的覆盖与划分 定理3.4.1 设A=?A1，A2，…，Ar?与B=?B1，B2，…，Bs?是C的两种划分，则集合X=?Ai∩Bj | i=1,…,r，j=1,…,s，Ai∩Bj≠??也是C的划分。证明: ⑴先证 Ai∩Bj ?C 由A，B是C的划分知，Ai ?C，Bj ?C，所以Ai∩Bj ?C。 ⑵再证: (A1∩B1)∪(A1∩B2)∪…∪(A1∩Bs )∪ (A2∩B1)∪(A2∩B2)∪…∪(A2∩Bs )∪ … (Ar∩B1)∪(Ar∩B2)∪…∪(Ar∩Bs ) =(A1∩(B1∪B2∪…∪Bs ))∪… ∪(Ar∩(B1∪B2∪…∪Bs )) =(A1∪A2∪…∪Ar)∩(B1∪B2∪…∪Bs ) =C∩C =C 3.4集合的覆盖与划分 ∪ ∪A i∩Bj=C r s i＝1 j=1 ⑶最后证X中的元素是两两互不相交的。 在X中取任意两个不同元素，Ai∩Bh与Aj∩Bk，分三种情况讨论： ①设 i≠j，h=k (Ai∩Bh)∩(Aj∩Bk)=(Ai∩Aj)∩(Bh∩Bk) = ?∩(Bh∩Bk)=? ②设 i≠j，h≠k (Ai∩Bh)∩(Aj∩Bk)=(Ai∩Aj)∩(Bh∩Bk) = ?∩?=? ③ 设 i=j，h≠k (Ai∩Bh)∩(Aj∩Bk)=(Ai∩Aj)∩(Bh∩Bk) =(Ai∩Aj)∩?=? 3.4集合的覆盖与划分 3.4集合的覆盖与划分 定义3.4.3 定理3.4.1中定义的集合X叫做原来两种划分A和B的交叉划分。 定义3.4.4 设 A=?A1，A2，…，Ar?与B =?B1，B2，…，Bs?是C的两种划分，如果 ?Ai?A ，?Bk?B，使得Ai? Bk。则称A是B的加细，也称A是B的细分。 定理3.4.2 任何两种划分的交叉划分都是原来两种划分的一种加细。证明：设A=?A1，A2，…，Ar?与B=?B1，B2，…，Bs?是C的两种划分。 X=?Ai∩Bj | i=1,…,r，j=1,…,s，Ai∩Bj≠??是A和B的交叉划分。 因为Ai∩Bj?Ai，Ai∩Bj?Bj，所以X是A的一种加细，也是B的一种加细。 实例 设?是正整数集合Z+的子集构成的集合。判断?是否是Z+的划分。⑴S1=?x| x?Z+∧x是素数?，S2= Z+-S1，?=? S1，S2?⑵ ?=??x? | x?Z+? 对于任意非空集合A，P(A)-???是A的非空子集构成的集合，P(A)-???是否构成A的划分？ 解：⑴是 ⑵是 解：不能，例如：A=?1,2?，P(A)-???=??1?,?2?,?1,2??，P(A)-???不是A的划分。 3.5 笛卡尔积 定义3.5.1两个个体x，y的有序序列，称为二重组，也称为有序对或序偶。记为?x,y?。x，y分别叫做二重组的第一分量和第二分量。所谓有序序列是指调换第一分量和第二分量位置后，就和原来的含义不同了。 定义3.5.2 设?x,y?与?a,b?是两个二重组，如果x=a且y=b，则称二重组?x,y?与?a,b?相等，记为?x,y?=?a,b?。 3.5 笛卡尔积 二重组?x,y?与?a,b?相等，用逻辑的方法表示为  (?x,y?=?a,b?)?(x=a)∧(y=b)。由定义可以看出，当x≠y时，?x,y?≠?y,x?。例如，平面上的点P1=?2,1?和点P2=?1,2?是两个不同的点，它们都是二重组。 定义3.5.5 设A，B是集合，集合??a,b?| a?A∧b?B?叫做A，B的笛卡尔积，也叫A，B的叉乘积，直积。记为：A×B。 如果A，B都是有限集，|A|= n，|B|= m，根据排列组合原理，|A×B|=nm=|A||B|。 【例3.22】设 A=?a,b?，B=?1,2,3?， ⑴试求A