9-5隐函数的求导法则6[8]6.ppt

导数的另一求法 公式法： 说明： 微分法： 谁看成变量. 时把谁看成常量， 注意求 直接法： 两边求导，若对 求导，把 数 谁是自变量， 谁是函数， 两边微分,不用区分 1.求隐函数 偏导的三个方法 数 的某邻域内具有连续偏导数 , ① 在点 条件是： 函数 满足: ② ③ 把 均看成变量用 一阶微分形式不变性及微分法则. 问题: 思考题 作业:P89:2,3,4,7,10(1)(3). 预习:P90~100. 思考题解答 解 这是求隐函数在某点的全微分 用一阶微分形式的不变性得 另解 则 * * §9.5 隐函数的求导公式 一个方程所确定的隐函数及其导数 方程组所确定的隐函数组及其导数 复习 1. 偏导数的求法： 对于z=f(x,y) 求 时， 把x看成变量， 其余变量均看成常量； 求 时， 把y看成变量， 其余变量均看成常量； 这是显函数求偏导数的方法. 2.求多元复合函数的导数的步骤： ?画出变量关系图； ?由关系图得出求导公式; ?求出所需的偏导数(或导数); ?代入公式,化简即可. z=f(u,v), 如 则复合函数 的偏导数为 链式法则如图示 同路相乘，异路相加 方法： 如 的导数为 则 二阶、三阶行列式 记 （定义） 则 （利用对数求导法） §9.5 隐函数的求导公式 基本概念： 1.隐函数定义： 形如 显函数： 形如 等的函数. 2.求导方法： ?显化法. ?直接求导法. 如 本节讨论两个问题: 1) 方程在什么条件下才能确定隐函数 . 例如,方程 当 C 0 时, 能确定隐函数; 当 C 0 时, 不能确定隐函数; 2) 在方程能确定隐函数时, 研究其连续性、可微性 及求导方法 . 或用微分法： 两边同时对 求导： 一、一个方程所确定的隐函数及其导数 定理1. 设函数 则方程 单值连续函数 y = f (x) , 并有连续 (隐函数求导公式) 定理证明从略，仅就求导公式推导如下： ① 具有连续的偏导数; 的某邻域内可唯一确定一个 在点 的某一邻域内满足 ② ③ 满足条件 导数 两边对 x 求导： 在 的某邻域内 则 若F( x , y ) 的二阶偏导数也都连续, 二阶导数 : 则还有 若F( x , y ) 的二阶偏导数也都连续, 二阶导数 : 则还有 解 则 P84例1 解 令 则 注 定理1的条件仅仅是充分的，如方程 定理2 . 若函数 的某邻域内具有连续偏导数 , 则方程 在点 并有连续偏导数 定一个单值连续函数 z = f (x , y) , 定理证明从略, 仅就求导公式推导如下: 满足 ① 在点 满足: ② ③ 某一邻域内可唯一确 两边对 x 求偏导 同样可得 则 则方程 在点 并有连续偏导数 定一个单值连续函数 z = f (x , y) , 满足 某一邻域内可唯一确 例3. 设 利用隐函数求导 再对 x 求导 解法1 注意：对x求导时，应把y看成常量，把z看成x,y的函数. P85例2 解法2 利用公式 设 则 两边对 x 求偏导 例3. 设 P85例2 例4. 设F( x , y)具有连续偏导数, 利用偏导数公式. 确定的隐函数, 则 已知方程 故 解法1 对方程两边求微分: 解法2 微分法. 解 根据隐函数存在定理可唯一确定连续函数 解： （二）直接由公式计算得出 二、方程组所确定的隐函数组及其导数 隐函数存在定理还可以推广到方程组的情形. 由 F、G 的偏导数组成的行列式 称为F、G 的雅可比( Jacobi )行列式. 以两个方程确定两个隐函数的情况为例 , 即 定理3. 的某一邻域内具有连续偏 设函数 则方程组 ③ 的单值连续函数 且有偏导数公式 : ① 在点 ② 的某一邻域内可唯一确定一组满足条件 满足: 导数； 这个定理我们只推导公式，仿前两个定理 确定隐函数组 则 设方程组 解1 运用公式推导的方法， 将所给方程的两边对 求导 将所给方程的两边对 求导 P87例3 解2 运用公式法， 将所给方程的两边对 求导并移项 在 的条件下， 解2 运用公式法 将所给方程的两边对 求导并移项 用同样方法得 解 这是由两个方程式组成的方程组 两边对 x 求导得 （分以下几种情况） 隐函数的求导法则 一个方程的情形 三、小结 方程组的情形 *