复件 9-7方向导数与梯度8[8]8.ppt

* * 多元函数取得极值的条件 定理1 (必要条件) 设函数 在点 有偏导， 且在点 处有极值， 则在该点的偏导数必然为零， 即 驻点 极值点(可导函数) 注意： 复习 定理2(充分条件) 设函数 在点 的某邻域 内连续， 且有一阶二阶偏导数， 又 令 则 在点 处是否取得极值的条件如下： (1) 时具有极值， 且当 时有极大值， 当 时有极小值； (2) 时没有极值； (3) 时可能有极值， 也可能没有极值， 还需 另作讨论. 求出在定义区域内部的实数解, 求函数 的极值的一般步骤： 第一步:解方程组 第二步: 求出二阶偏导数 的值A、B、C. 第三步: 定出 的符号， 再判断是否为极值. 得驻点. 对于每一个驻点 求最值的一般方法： 为最大值， 边界上的最大值和最小值相互比较， 将所有驻点处的函数值及在D的 其中最大者即 最小者即为最小值. 拉格朗日乘数法 要找函数z=f(x,y)在条件 下的可能的极值点， 可以先构造函数： 其中 为某一常数, 可由 解出 其中x,y就是可能的极值点. 即 第九章 第七节 方向导数与梯度 问题的提出 方向导数的定义 方向导数的计算 梯度的概念 实例：一块长方形的金属板，四个顶点的坐标是(1,1),(5,1)，(1,3)，(5,3)．在坐标原点处有一个火焰,它使金属板受热．假定板上任意一点处的温度与该点到原点的距离成反比．在(3,2)处有一个蚂蚁,问这只蚂蚁应沿什么方向爬行才能最快到达较凉快的地点？ 问题的实质：应沿由热变冷变化最剧烈的方向（即梯度方向）爬行． 问题的提出 x o y 一、方向导数 1.方向导数的定义: x o y 说明: 函数随自变量变化而变化的快慢程度, ?l与x轴正向一致时, 则 ?l与x轴负向一致时, ?l与x轴正向一致时, ?l与x轴负向一致时, 则 注: 偏导数与方向导数不一样. 类似地: ?l与y轴正向一致时, ?l与y轴负向一致时, 2.方向导数的存在性及其计算方法: 定理 那么 函数在该点沿任一方向l的方向导数存在,且有 证明 则 所以 说明: （1）可微 沿任一方向的方向导数存在. 反之不一定成立. 如： 在 点处沿任一方向 的方向导数为1， 但它在 处不可微（因不可导）. （2） 若 则 （3）若计算 ，只需在题设中找到 推广： 则函数在该点沿着方向 例1 解 与它同向的单位向量为： 则所求方向导数为： P102例1 例2. 求函数 在点P(2, 3)沿曲线 朝 x 增大方向的方向导数. 已知曲线用参数方程表示为 它在点 P 的切向量为 解: 例3. 设 是曲面 在点P(1, 1, 1 )处 指向外侧的法向量, 解: 方向 的方向导数. 在点P处沿 求函数 方向余弦为 而 同理得 二、梯度 1.定义: 都可定出一个向量: 记作： 即 而 2.二元函数梯度与方向导数的关系: 注意: 方向是函数在这点的方向导数取得最大值的方向, 模等于方向导数的最大值. x y z o c 3.等值线: 所得曲线L在xoy面上投影L*， 对L*上一切点， 已给函 数的函数值都是c, 称L*为z=f(x,y)的等值线. 梯度为等高线上的法向量 等高线 等高线的画法 例如, 梯度与等高线的关系： --------- 梯度的几何意义 梯度的概念可以推广到三元函数 4. 梯度的基本运算公式 由梯度计算公式得 梯度,并问在那些点处梯度为零？ 例4 解 例5 解 则 1992 例6 解 三、物理意义 函数 (物理量的分布) 数量场 (数性函数) 场 向量场(矢性函数) 可微函数 梯度场 ( 势 ) 如: 温度场, 电位场等 如: 力场,速度场等 (向量场) 注意: 任意一个向量场不一定是梯度场（有势场）. 重力场是有势场.