第五节 对坐标的曲面积分11-5.ppt

第三节 对坐标的曲面积分 教学内容 1 对坐标的曲面积分的概念与性质； 2 对坐标的曲面积分的计算法； 3 两类曲面积分之间的联系 考研要求 1 了解对坐标的曲面积分； 2 掌握对坐标的曲面积分的计算法； 3 了解两类曲面积分之间的联系 一、基本概念 二、概念的引入 四、计算法 五、两类曲面积分之间的联系 六、小结 解 * 观察以下曲面的侧 (假设曲面是光滑的) 曲面分上侧和下侧 曲面分内侧和外侧 曲面的分类: 1.双侧曲面; 2.单侧曲面. 典型双侧曲面 莫比乌斯带 典型单侧曲面: 播放 曲面法向量的指向决定曲面的侧. 决定了侧的曲面称为有向曲面. 曲面的投影问题: 实例: 流向曲面一侧的流量. 1. 分割 则该点流速为 . 法向量为 . 3.取极限 2. 求和 三、概念及性质 类似可定义 存在条件: 组合形式: 物理意义: 性质: (2)-Σ表示与Σ取相反侧的有向曲面,则积分曲面取相反侧时,对坐标曲面积分变号,有: (1):关于积分曲面的可加性若Σ=Σ1+Σ2,则 注意:对坐标的曲面积分必须注意积分曲面所取的侧. 有向投影元素 面积元素 注意:对坐标的曲面积分,必须注意曲面所取的侧. 从这里可看出对坐标的曲面积分的计算方法可简为： 一(把曲面的参数方程)代(入被积函数中). 二方向(注意上侧,外侧,或前侧为“+”号,下侧,内侧,后侧为“-”号) 三投影 即把曲面向坐标平面投影,使曲面积分变成二重积分. 解 另解 例2 解 小结：利用直接投影法计算对坐标的曲面积分，要掌握 其基本步骤，把积分转化为二重积分是关键。当积分曲 面表示为显函数后不是单值函数，则应将曲面分片，使 每片曲面的显函数表示为单值函数。 *例3 解 两类曲面积分之间的联系 向量形式 * * *