9-4复合函数的求导法则5[8]5.ppt

备用题 2. 纠正作业 4.设 求 解 另解 * * §9.4 多元复合函数的求导法则 链式法则 全微分形式不变性 小结 作业 复习 1.微分定义: 2.重要关系: 函数可导 函数可微 偏导数连续 函数连续 定义 能 二重极限存在 复习 3.多元函数全微分的求法； 4.判定函数可微的方法: 不连续 不可微. 可微 可导， 不可导 不可微. ★ ★ ★定义法 ★偏导连续 可微. 可微 是 5.一元复合函数的求导法则 (链式法则) 设y=f(u), 而 则复合函数 的导数 为 或 问题: 复合而成， 则 即 复合而成， 则 证 一、复合函数的求导法则(链式法则) 定理 如果函数 在区域D具有连续偏导数 及 函数 及 在区间I内都可导， 且当 时， 点 那么复合函数 在区间I内可导， 且 则 设x获得增量 I.一元函数与多元函数复合的情形： 由于函数z=f(u,v)在点(u,v)有连续偏导数, 当 时， 当 时， 则一定可微 所以 ?该定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况. 如 ?以上公式中的导数 称为全导数. 则 ?特点: 中间变量是一元函数. 注意： 例1 设 求全导数 解 若要计算 只须算出此时 则 例2 设 而u=u(x),v=v(x)均可导， 求复合函数 的导数. 解 以上问题的中间变量是一元函数, 若是多元函数 如何求它的导数呢？ 定理 如果函数 及 都在点 具有对 x和y的偏导数， 且函数z=f(u,v)在对应点(u,v)具有连续 偏导数， 则复合函数 在对应点 的两个偏导数存在， 且可用下列公式计算 链式法则如图示 同路相乘，异路相加. II.多元函数与多元函数复合的情形： 方法： 特点： 中间变量为多元函数. 类似地还可以推广： 设 具有连续偏导数, 而 都具有偏导数， 则 复合函数 有对自变量x、y 的偏导数， 且 求多元复合函数的导数的步骤： ?画出变量关系图； ?由关系图得出求导公式; ?求出所需的偏导数(或导数); ?代入公式,化简即可. 例3 设 而 求 及 解 P79例1 例4 设 f具有连续的偏导数， 证明： 证 令 是由 复合而成. 于是 则 则复合函数 III.复合函数的中间变量既有一元函数,又有多元函数 定理 设 复合成二元函数, 那么在与情形2类似的条件下， z关于x和y的偏导数均存在， 且有 注意： 这里v与x无关， 且在一元函数求导时， 将记号 改为“d”. 的情形(其他情形)： z u v x y 例5 设 求 和 解 注意： 若某个变量同时出现在构成复合函数的两个 函数中， 此时要特别注意防止记号的混淆. 例如： 设 具有连续偏导数， 而 具有偏导数， 则复合函数 具有对 x和y的偏导数. 此时变量x和y既是中间变量， 又是自 令v=x, w=y, 有 从而 变量. 注： 与 的区别： 从而有 常数而对x求偏导； 是在未经复合的函数 中， 把u和y 看作常数而对x的偏导数. 是把复合函数 中的y看作 而 与 类似. 例6 设 而 求 及 解 P79例2 例7 设 f具有二阶偏导数， 求 解 令 则 引入记号 w u v x y z P79例4 而 于是 解 例8 已知 求 恰当的利用求导的四则法则，会使计算简单. 例9 解 由题意知: 混合偏导数相等， 1998 二、全微分形式不变性 设函数 具有连续偏导数， 则全微分 当 时， 有 全微分形式不变形的实质： 无论z是自变量u、v的函数或是中间变量u、v 的函数， 它的全微分形式是一 样的. 设 例10 解 设 其中f具有一阶连续偏导数， 求du及 解 例1 . 例12 利用全微分形式不变性再解P79例1. 解 所以 1、链式法则（分三种情况） （特别要注意特殊情况） 三、小结 (1) (2) (3) 注： 有几个中间变量就有几项, 有几层复合就有几层乘积. 2、全微分形式不变性 （理解其实质） 同路相乘，异路相加. 单路全导, 叉路偏导. 这样一来，我们就可以对各类多元复合函数求偏导数.只要弄清它们的复合结构，及变量之间的关系，用链式法则和正确的符号表示即可.要注意各个符号的含义.要弄清变量间的关系. 3、求导口诀 作业:P82:2,3,8,9,12(2)(4). 预习:P83~89. 纠正作业 P69: 解 1(5) ? 1(6) 解 ? *