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二 有鞍点的矩阵博弈 案例，求解矩阵对策G={S1,S2;A},其中 -7 1 -8 A= 3 2 4 16 -1 -3 -3 0 5 哲理：从坏处着眼，从好处着手 鞍点：行中最小，列中最大 定理：有鞍点的矩阵博弈在纯策略意义下有解 甲赢 乙 甲 ?1 ?2 ?3 Min aij j a1 -7 1 -8 -8 a2 3 (2) 4 2* a3 16 -1 -3 -3 a4 -3 0 5 -3 Max ?ij i 16 2* 5 2* 2* 甲的最优策略 ai* 解 乙的最优策略 ?j* 博弈值V 0 对甲有利 博弈值V = 0 公平 0 对乙有利 定理：若矩阵博弈A=（aij）的解为： ai* ?j* V 则 A′=（aij±K）的解为： ai′* ?j′* V′=V±K 三 无鞍点的矩阵博弈 定理：一个无鞍点的矩阵博弈 (1)可以化成两个线性规划 (2)此两个线性规划一定有唯一解 (3)当矩阵博弈为（2*2）时，不等号可改为等号，LP变为联立方程组 定理：无鞍点的矩阵博弈，在纯策略意义下无解，但在混合意义下有解 2×2对策的公式 所谓2×2对策是指局中人I的赢得矩阵为2×2的阶的，即 A= a11 a12 a21 a22 如果A有鞍点，则很快颗求出局中人的最优纯策略；如果A没有鞍点，则可证明各局中人最优混合策略中的Xi*，Yj*均大于零。于是，由定理6可知，为求最优混合策略可求下列等式组： a11X1+a21X2=v （I） a12X1+a22X2=v X1+ X2=v a11Y1+a12Y2=v a21Y1+a22Y2=v （Ⅱ） Y1+ Y2=v 当矩阵A不存在鞍点时，可以证明上面等式组（Ⅰ）和（Ⅱ）一定有严格非负解X﹡=（X1﹡，X2﹡）和（Y1﹡，Y2﹡），其中 a22-a21 X1﹡= （a11+a22）-（a12+a21） a11-a12 X2﹡= （a11+a22）-（a12+a21） a22-a12 Y1﹡= （a11+a22）-（a12+a21） a11-a21 Y2﹡= （a11+a22）-（a12+a21） a11a22-a12a21 VG= （a11+a22）-（a12+a21） 补充 客观现象，可分为：必然现象；随机现象。 随机现象：个别，无规律可寻；大量，呈现规律性。 随机变量：随机现象的某种数量属性。 统计规律：大量随机现象所呈现的规律性。 算数平均：随机抽样，机会均等 随机变量 X X1 X2… Xi… Xn 概 率 P 1/n 1/n…1/n …1/n 算数平均 X = 1/n (X1 + X2+…+ Xi+…+Xn) 加权平均: 数学期望 随机变量 X X1 X2… Xi… Xn