系统运动的稳定性1.ppt

5.1 内部稳定性与外部稳定性 5.2 李雅普诺夫稳定性的定义 5.3 李雅普诺夫第二法的主要定理 5.4 构造李雅普诺夫函数的规则化方法 5.5 线性系统的稳定性分析 5.6 Matlab问题 本章小结 本 章 简 介 本章讨论李雅普诺夫稳定性分析。 主要介绍 内部稳定性和李雅普诺夫稳定性的定义以及 分析系统状态稳定性的李雅普诺夫理论和方法; 着重讨论 李雅普诺夫第二法及其在非线性系统的应用、 李雅普诺夫函数的构造。 5.1 内部稳定性与外部稳定性 一个自动控制系统要能正常工作，必须首先是一个稳定的系统。 例如，电机自动调速系统中保持电机转速为一定的能力以及火箭飞行中保持航向为一定的能力等。 具有稳定性的系统称为稳定系统。 稳定性的定义为： 当系统受到外界干扰后，显然它的平衡被破坏,但在外扰去掉以后,它仍有能力自动地在平衡态下继续工作。 如果一个系统不具有上述特性，则称为不稳定系统 实际上 ,控制系统的稳定性，通常有两种定义方式： 外部稳定性：是指系统在零初始条件下通过其外部状态，即由系统的输入和输出两者关系所定义的外部稳定性。 经典控制理论讨论的有界输入有界输出稳定(BIBO)即为外部稳定性 。（书P213 定义5.1） 在经典控制理论中，许多稳定性判据如劳斯-赫尔维茨判据和奈奎斯特判据等，都给出了既实用又方便的判别系统稳定性的方法。 线性系统的输入输出稳定性取决于其特征方程的根，与初始条件和扰动都无关，而非线性系统则不然。 5.2 李雅普诺夫稳定性的定义 第二类方法不是通过解方程或求系统特征值来判别稳定性，而是通过定义一个叫做李雅普诺夫函数的标量函数来分析判别稳定性。 由于不用解方程就能直接判别系统稳定性，所以第二种方法称为直接法，亦称为李雅普诺夫第二法。 1. 平衡态 设我们所研究的系统的状态方程为 x’=f(x,t) 其中x为n维状态变量; f(x,t)为n维的关于状态变量向量x和时间t的非线性向量函数。 对该非线性系统，其平衡态的定义如下。 定义5-1 动态系统 x’=f(x,t) 的平衡态是使 f(x,t)?0 的状态，并用xe来表示。 从定义5-1可知，平衡态即指状态空间中状态变量的导数向量为零向量的点(状态)。 由于导数表示的状态的运动变化方向，因此平衡态即指能够保持平衡、维持现状不运动的状态，如上图所示。 对于李雅普诺夫稳定性，还有如下说明： 李雅普诺夫稳定性针对平衡状态而言，反映的是平衡状态邻域的局部稳定性，即小范围稳定性。 系统做等幅振荡时，在平面上描出一条封闭曲线，只要不超过S(xe,?)，就是李雅普诺夫稳定的，而经典控制理论则认为不稳定。 对于李雅普诺夫渐近稳定性，还有如下说明： 经典控制理论的BIBO稳定性，就是李雅普诺夫意义下的渐近稳定。 稳定和渐近稳定，两者有很大的不同。 对于稳定而言，只要求状态轨迹永远不会跑出球域S(xe,?)，至于在球域内如何变化不作任何规定。 而对渐近稳定，不仅要求状态的运动轨迹不能跑出球域，而且还要求最终收效或无限趋近平衡状态xe。 函数的定号性是一个相对概念，与其函数定义域有关。 如，函数 对x1与x2组成的2维空间为非负定的，但对于1维空间x2则为正定的。 二次型函数与一般函数一样，具有正定、负定、正半定、负半定和不定等定号性概念。 二次型函数V(x)和它的对称权矩阵P是一一对应的。 因此，由二次型函数的正定性同样可定义对称矩阵P的正定性。 定义5-7 设对称矩阵P为二次型函数V(x)的权矩阵，当V(x)分别为正定、负定、正半定、负半定和不定时，则称对称矩阵P相应为正定、负定、正半定、负半定与不定。 定理5-1(塞尔维斯特定理) (1) 实对称矩阵P为正定的充要条件是P的各阶顺序主子式均大于零,即 定理5-2 实对称矩阵P为正定、负定、正半定与负半定的充分必要条件是P的所有特征值分别大于零、小于零、大于等于零与小于等于零; 实对称矩阵P为不定的充分必要条件是P的特征值有正有负。 (1) 渐近稳定性定理(包括大范围和小范围) 定理5-4 设系统的状态方程为 x’=f(x,t) 其中xe=0为其平衡态。 若存在一个有连续一阶偏导数的正定函数V(x,t)， V(0,t)=0，满足下述条件: 1) 若V’(x,t)为负定的，则该系统在原点处的平衡态是一致渐近稳定的; 2) 更进一步，若随着||x||→?，有V(x,t)→?，那么该系统在原点处的平衡态是大范围一致渐近稳定的。 李雅普诺夫定理是判别系统稳定性的一个重要方法和结论。 它不仅适用于线性系统，也适用于非线性系统;既适用于定常系统，也适用于时变系统。 因此，李雅普诺夫第二法是判别系统稳定性的具有普遍性的方法。 对上述李雅普诺夫稳定性定理的使用有如下说明: 此定理只为