经典力学习题课7-刚体动力学.ppt

* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * 例7.8 质量为m，半径为R的匀质球置于粗糙的水平面上，球与桌面间的摩擦系数为μ，球在水平冲力的作用下获得平动初速度V0。问经过多长时间后变为纯滚动，此时的质心速率为多大？ C V0 f 【解】球在受冲击后，水平方向只有摩擦力f 作用 f ＝－ mgμ 平动方程： mac ＝－ mgμ ① 转动方程：mgμR＝Iβ ② 由①得 ac ＝－μg ， Vc＝V0－ μgt 由②得 β＝ mgμR/ I = mgμR/ (2mR2/5) ＝5μg/2R＝Const ∴ ω＝βt＝ 5μgt/2R 与地面接触点的速度Vp： Vp ＝Vc－ ωR＝ V0－ μgt－5μgt/2＝ V0－7μgt/2 这表明在撞击后，小球既滑动又滚动，但平动速度逐渐变小，转动速度逐渐加快。经过τ时间后，小球纯滚动，此时满足Vp ＝0 即有 V0－7μgτ/2＝0 得到 τ＝2 V0 / 7μg 此时质心的速度：Vc＝ V0－ μgτ＝5 V0 / 7 球运行的距离：S＝ V0τ＋acτ2/2 ＝12 V02/(49μg) 例7.9 一长为L，质量为m的匀质细杆是由两根同样的细杆A和B组成，两杆用光滑的铰链连结于O点。杆位于光滑的水平面上，它们可绕过O点的竖直轴自由转动。初始，两杆成一条直线，今在A杆左端突然施以水平冲力，冲量为P，方向与棒垂直。求： （1）杆A和B的质心速度VA，VB； （2）杆A和B 的角速度ωA，ωB 【解】冲击瞬间O点尚无位移，设想A杆左右两端受到冲量P和P’作用；B 杆左端受到冲量P’’的作用，且P’＝－P’’。 P CA CB P CA CB VB VA P’ P’’ ωB ωA A B O O 由质心运动定理和转动定理，对于A杆，有 对于B杆，有 由于连接点速度相等，因此有 联立解得 (以上负号表示所设量的方向与实际方向相反) 细杆所获的动能为 例7.10 质量为m，长为L的匀质细杆位于竖直平面内，其一端B置于光滑的地面上，另一端A靠在光滑的墙面。初始杆静止，杆与墙面成θ0角，然后释放杆让其滑动。求 （1）墙面和地面对杆的作用力； （2）杆脱离墙面时杆与墙面的夹角。 A B y x C θ O F N 【解】 杆作平行平面运动。 杆的质心运动方程 ① ② 转动方程 ③ ④ 由 可得 ⑤ ⑥ ⑦ 下滑过程，机械能守恒，应有 即 ⑧ 将①～ ⑧联立解，并有 ，可得 最后得到 分析：θ从θ0到π/ 2过程中，N 0，但F逐渐变小， 当F＝0时杆将脱离墙面。 设 F＝0时， θ ＝ θm 由 3cos θm －2cos θ0 ＝ 0 得 θm＝cos－1(2cos θ0 / 3) 用瞬心法求解 杆的瞬时下滑可看作绕瞬心P的运动。 x A B’ y C’ θ O A’ C B P θ+Δθ 瞬心P点的加速度 因为瞬心P点绕质心作圆周运动，所以在该瞬时它相对质心的速度＝0，其相对质心的加速度只有切向分量，故有 惯性力矩＝0，有 代入 得到 例7.11 讲义5－11题 长为L，宽为b，质量为m的匀质薄板，能绕过宽边的中心并垂直于板平面的水平轴O自由转动。初始板静止，处于轴的正上方，然后向下摆动。球板到达水平位置时，求：（1）板的角速度和质心速度；（2）轴处的约束反力。 L b m o x y o x x dx mg c θ o c an a aτ 【解】对轴O的转动惯量为 角速度 由系统的机械能守恒和转动定理，得 而 当 得到 质心的速度和加速度 求约束力。 例12 质量很小长度为l 的均匀细杆,可绕过其中心 O并与纸面垂直的轴在竖直平面内转动.当细杆静止于水平位置时, 有一只小虫以速率 v0 垂直落在距点O为 l/4 处, 并背离点O 向细杆的端点A 爬行.设小虫与细杆的质量均为m.问:欲使细杆以恒定的角速度转动, 小虫应以多大速率向细杆端点爬行? 例12 质量很小长度为l 的均匀细杆,可绕过其中心 O并与纸面垂直的轴在竖直平面内转动.当细杆静止于水平位置时, 有一只小虫以速率 v0 垂直落在距点O为 l/4 处, 并背离点O 向细杆的端点A 爬行.设小虫与细杆的质量均为m.问:欲使细杆以恒定的角速度转动, 小虫应以多大速率向细杆端点爬行? 解 小虫与细杆的碰撞视为完全非弹性碰撞，碰撞前后系统角动量守恒 由角动量定理 即 考虑到 例13 一