《线性代数》学习指导 第三章 线性方程组(59P).doc

第三章 线性方程组 一、 内容提要 ⒈ n维向量 、向量组 定义1 数域P中n个数 组成的n元有序数组称为n维向量，其中第i个数ai称为向量的第i个分量,记?= ,???= ?. 行矩阵形式的向量???称为行向量，列矩阵形式的向量称为列向量. 设,,则 称为向量? 与 ? 的和. k???= , 其中, 称为数k与向量??的数量乘积，简称数乘. 注 行向量乘以列向量的结果是数. 若干个同维数的列（行）向量所组成的集合叫做向量组. 一个向量组可以含有限个向量, 也可以含无数个向量. ⒉ 线性组合和线性表示 定义2 设n维向量组, 若存在一组数k1 , k2 , … , km , 使得 则称向量 ???是向量的线性组合, 或称向量 ???可由向量线性表示. k1 , k2 , … , km称为表示系数或组合系数. 向量 ???可由向量组线性表示 方程组有解 结论 1° 零向量????是任意与它同维数的向量组的线性组合. 2° 向量组中的任一向量（ i = 1, 2 , … , m ）都可由该向量 线性表示. 3° 任何一个n维向量 都可由n维基本向量组 线性表示. ⒊ 线性相关与线性无关 定义3 设为n维向量组, 若存在不全为0的数k1 , k2 , … , km , 使得 则称向量组线性相关, 否则称它们线性无关. 个维向量组成的向量组 线性相关 齐次线性方程组有非零解 个维向量组成的向量组线性无关 齐次线性方程组仅有零解 结论 1°一个向量???线性相关的充要条件是 ???= ?? 2°两个向量线性相关的充要条件是成比例，即. 3°当时，即当向量组中向量个数大于向量维数时，向量组线性相关. 4°当时,即当向量个数等于向量维数时, ,则向量组线性相关; 5°若向量组线性无关, 则接长向量组也线性无关. 6°若向量组中有部分向量线性相关，则此向量组线性相关(即部分相关,整体相关). 7°若向量组线性无关，则它的任一部分向量组也线性无关(即整体无关,部分无关). 定理1 向量组(m ≥ 2 )线性相关的充要条件是其中至少有一个向量可由其余向量线性表示. 推论 若可由线性相关. 定理2 若向量组线性无关，而向量组,? 线性相关，则 ???必线性表示，且表达式唯一. ⒋ 向量组（I）与向量组（II）等价 定义4 设向量组（I）及（II）, 若向量组（I）中的每个向量都可由向量组（II）线性表示，则称向量组（I）可由向量组（II）线性表示；若向量组（I）与向量组（II）可相互线性表示，则称向量组（I）与向量组（II）等价. 向量组可由向量组线性表示 矩阵方程有解 ⒌ 向量组的极大无关组和秩 定义5 设 是向量组的一个部分组，若 （1）线性无关； （2）向量组 中每一个向量都可由线性表示, 则称是向量组的一个极大线性无关组，简称极大无关组. 结论 1°向量组与它的极大无关组等价. 2°向量组的任意两个极大无关组等价. 向量组的极大无关组所含向量的个数称为向量组的秩.记作R?? 矩阵A的行向量组的秩称为矩阵A的行秩，矩阵A的列向量组的秩称为矩阵A的列秩,且有R（A）= A的列秩 = A的行秩. 注 1°含有限个向量的向量组构成的矩阵记为, 那么矩阵的最高阶非零子式所在的列就是向量组的一个极大无关组. 2°若已知向量组的秩为, 那么向量组中个线性无关向量就是向量组的一个极大无关组. 定理3 若向量组可由向量组线性表示，且s ＞ t ，则向量组 线性相关. 推论1 若向量组可由向量组线性表示，且向量组线性无关，则s ≤ t. 推论2 两个线性无关的等价向量组必含有相同个数的向量. 定理4 等价的向量组秩相等. 注 秩相等的向量组不一定等价. 定理5 若向量组可由向量组 线性表示，则 R ≤ R 定理6 矩阵的初等行变换不改变矩阵的列向量间的线性关系. 根据定理6我们可以利用矩阵的初等行变换求向量组的秩、 向量组的极大无关组并将向量组中其余向量用所求出的极大无关组线性表示. ⒍ 齐次线性方程组的通解 齐次线性方程组的一般形式 矩阵形式 A X = 0 向量形式 6.1 齐次线性方程组有非零解的条件 1°齐次线性方程组 AX = 0 有非零解的充要条件是R（A）＜ n ． 2°若齐次线性方程组AX = 0 中方程的个数小于未知量的个数, 即m ＜ n , 则它必有非零解. 3° 若m = n , 则齐次线性方程组AX = 0 有非零解的充要条件是 = 0 . 6.2 齐次线性方程组解的性质