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第三章 矩阵习题课 主要内容 二. 典型例题 三. 测验题 转置矩阵 1. 一些特殊的矩阵 一、主要内容 性质： 对角矩阵 上三角矩阵 　　主对角线以下的元素全为零的方阵称为上三 角矩阵． 下三角矩阵 　　主对角线以上的元素全为零的方阵称为下三 角矩阵． 对称矩阵 反对称矩阵 幂等矩阵 正交矩阵 对合矩阵 伴随矩阵 其他性质 定理 矩阵 可逆的充要条件是 ，且　　　　　　 其中 为A的伴随矩阵. 1. 设 n(n?3) 阶可逆矩阵 A 的伴随矩阵为A*,常数 k?0, ?1, 则 (kA) ? =( ) (A) k A* (B) kn-1A* (C) kn A* (D) k-1 A* 。 2. 已知实矩阵 A=(aij)3?3，且满足 (1) aij=Aij (i, j=1,2, 3)，其中 Aij 是 aij 的代数余子式, (2) a11?0，则 |A|= 。 定义 2. 逆矩阵 若AB?E(BA?E)? 则B?A?1? (4)若A可逆? 则AT也可逆? 且(AT )?1?(A?1)T ? (3)若A、B为同型可逆矩阵? 则AB可逆? 且(AB)?1?B?1A?1? (2)若A可逆? 数??0? 则?A可逆? 且(?A)?1???1A?1? (1)若A可逆? 则A?1也可逆? 且(A?1)?1?A? 逆矩阵的性质 逆矩阵相关定理及性质 (5) 若A可逆, 则有 逆矩阵求法 （1）待定系数法（2）伴随矩阵法（3）初等变换法 反身性 传递性 对称性 4. 矩阵的等价 设 n 阶方阵 A 与 B 等价，则（ ）(自测三1(4)) (A) ?A?=?B? (B) ?A???B? (C) 若?A??0，则?B??0 (D) ?A?= -?B?。 5. 初等矩阵及初等变换 由单位矩阵　经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵． 定理1 设 A 为m×n阶矩阵，则 (1) 对 A 施以一次初等行变换, 相当于用同种 m 阶初等矩阵左乘矩阵 A. (2) 对 A 施以一次初等列变换, 相当于用同种 n 阶初等矩阵右乘矩阵A. 初等矩阵与初等变换的关系： 三种初等变换都是可逆的，且其逆变换是同一类型的初等变换. 可逆矩阵可以经过若干次初等行变换化为单位矩阵. 定理： 即， 用初等变换法求矩阵的逆矩阵 解矩阵方程的初等变换法 或者 解矩阵方程 其中 均为可逆矩阵。 注意：解矩阵方程时，要注意已知矩阵与 X 的位置关系， 例如解 AX=B, 需先考察A是否可逆，只有 A 可逆才可以解 此矩阵方程，在方程两边同时左乘 A 的逆，而不能右乘， 因为矩阵乘法不满足交换律。 矩阵方程 解 (1) 行阶梯形矩阵的秩等于非零行的行数． 6. 矩阵秩的性质 (2) (3) (4) r(AB)?min{r(A), r(B)}. (5) 若 则 (6) (7) r(A+B) ? r(A) + r(B). 求矩阵的秩基本方法:各阶子式和初等变换。 典　型　例　题 矩阵的基本运算 方阵的幂 逆矩阵的求解、证明 矩阵方程 矩阵的分块运算 例1 设 求 的行列式。 分析：直接计算困难，可利用逆矩阵的定义先化简再计算 解： 例2 设 4 阶方阵 其中 均为 4 维列向量，且已知行列式 求行列式 分析：根据矩阵加法定义及行列式性质求 解： 例3　求下列矩阵的秩 解　对　 施行初等行变换化为阶梯形矩阵 注意　在求矩阵的秩时，初等行、列变换可以同时兼用，但一般多用初等行变换把矩阵化成阶梯形． 例4　求下述矩阵的逆矩阵． 解 　　注意:　用初等行变换求逆矩阵时，必须始终用行变换，其间不能作任何列变换．同样地，用初等列变换求逆矩阵时，必须始终用列变换，其间不能作任何行变换． 例5 解 即A可逆.