矩阵论 第1章 线性空间与线性变换培训课件方案研究.ppt

硕士研究生数学课程;学习《矩阵论》课程必须掌握的基础知识： 1.高等数学 2.线性代数;目录 第1章：线性空间与线性变换 第2章：内积空间 第3章：矩阵的标准形 第4章：矩阵函数及其应用 第5章：特征值的估计与广义逆矩阵 第6章：非负矩阵;第1章 线性空间与线性变换 ; 本章将介绍两个内容，线性空间与积线性变换，它们是矩阵分析中两个基本概念，同时也是重要的概念．线性空间是线性代数中向量空间概念的推广．;1.1 线性空间的概念; 数域的概念： 　　若P是C的一个非空集合，且P含有非零的数，其中任意两数的和、差、积、商(除数不为零)仍属于该集合，则称数集P为一个数域．; 在线性代数中，我们把n元有序数组称为n维向量， 并对n维向量引入了加法及数乘两种运算，且在这两种运算下满足八条基本的运算规律，称为n维向量空间．事实上，我们不难发现，还有许多集合，比如n阶方阵的全体，关于矩阵的加法及数乘两种运算，仍满足类似的八条运算规律．这里虽然研究的对象不同，定义的运算不同，但它们有一个共同点，就是在非空集合与数域P上定义了两种运算，且这两种运算满足八条性质．将此抽象可给出线性空间的概念．; 下面看一些线性空间的例子．; 注意　在同一集合上，可以定义不同的线性运算，从而得到不同的线性空间．;　线性空间的性质; 设V为数域P上的线性空间， ，进一步可证明如下性质． ;　线性空间中向量的线性相关性; n维向量空间Rn及其子空间的基与维数的概念，可以推广到一般的线性空间中．; 一般地说，一向量组线性相关时，则其中至少有一个向量可由这组向量中其他向量线性表示，反之，如果这组向量具有这一性质，则这组向量必线性相关．不难推知，线性无关的向量组，其中任一向量都不能由这组向量中其他向量线性表示. ; 例 零空间的维数是零． ; （1）向量在给定基下的坐标; 从上例可看出，一个向量的坐标依赖于基的选取，一个向量在不同基下的坐标一般是不相同的． ; （2）向量线性运算的坐标表示; 前面讲到， 一个向量的坐标依赖于基的选取，对于线性空间的两个基来说，同一个向量的坐标一般是不相同的． 那么它们之间有怎样的关系呢? 下面讨论这个问题 ; （2）坐标变换公式;过渡矩阵的性质; 由此可见，我们所熟悉的矩阵乘法的定义正反映了这种线性代入过程．; 前面我们讨论了线性空间的定义及其基、维数、坐标．本节将对线性空间的子空间做一些介绍．; 定理1-2　线性空间V的非空子集W构成V的子空间的充分必要条件是： W对于V中的线性运算封闭．;子空间的交与和的运算; 前面给出了子空间的定义，并讨论了子空间的交与和，为了对子空间有进一步的了解，我们将深入讨论子空间的基和维数 .; 以下我们将这一部分做一个小结．; 看两个不同的线性空间和元素; 现来讨论数域 P上n维线性空间V 与线性空间 Pn 与的关系，在V 中取定一个基; 同构映射σ为V→V′具有下列基本性质：; 本节小结： 　　由前面的说明及以上关于同构的讨论，可以知道，同构的线性空间有相同的代数性质（指那些仅与线性空间定义中两个运算有关性质，而同构映射是保持这两个运算的），因此，同构的线性空间是可以不加区别的，即认为是相同的. 其次，由于一切n维线性空间（相同数域P上的）都与Pn同构，这就可以???较具体的Pn来认识比较抽象的n维线性空间，并且Pn中许多性质照样可以搬到一般n维线性空间里来.;1.5 线性变换的概念;　　几个例子：; 注意 性质3的逆性质不成立，即线性变换可能将线性无关向量组变成线性相关向量组．例如，零变换把任何线性无关向量组都变成线性相关向量组． 线性变换与同构映射的异同之处有哪些？ ; 线性变换的运算：; 结论 L(V)对于上述加法与数量乘法构成数域P上的一个线性空间．;1.6 线性变换的矩阵