矩阵论—特征值和特征向量研究报告.ppt

* 机动 目录 上页 下页 返回 结束 数学科学学院 陈建华 矩 阵 论 机动 目录 上页 下页 返回 结束 §1.1 特征值和特征向量 一、方阵的特征值和特征向量 二、线性变换的特征值和特征向量 机动 目录 上页 下页 返回 结束 1、定义 假设 A 是 n 阶方阵，如果存在数 ? 和非零向量 X，使得 AX= ?X 称 ? 是矩阵 A 的一个特征值， X 是对应于? 的一个特征向量。 一、方阵的特征值和特征向量 机动 目录 上页 下页 返回 结束 AX = ?X 非零向量 特征向量 对应 特征值 n阶方阵 对应于特征值 ? 的特征向量不唯一。 注： 2、求法 AX = ?X (?E–A)X = 0 |?E–A| = 0 特征方程 |?E–A| = ?–a11 –a12 … –a1n –a21 ?–a22 … –a2n … … … … –an1 –an2 … ?–ann 特征多项式 ?E–A 特征矩阵 特征值 特征向量 机动 目录 上页 下页 返回 结束 机动 目录 上页 下页 返回 结束 (1) ?为A的特征值 ? |?E–A| = 0. (2) X为A的对应于?的特征向量 ? (?E–A)X = 0, X为非零向量. 求特征值和特征向量的步骤： (1) 写出A的特征方程|?E?A|?0; (2) 求出A的n个特征值?1, ?2? ???? ?n; (3) 对每一特征值?i，求解对应的方程组 (?iE?A)X?0? 方程组的非零解就是?i的所有特征向量. 定理1 例1 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解: A的特征多项式为 求矩阵 的特征值和特征向量. 所以A的特征值为 ?1=2, ?2= ?3= 1. 对于?1=2, 解方程组(2E–A)X = 0, 机动 目录 上页 下页 返回 结束 p1=(0, 0, 1)T. 对应于?1=2的特征向量为k1p1 (0?k1?R). 得基础解系 对于?2= ?3=1, 解方程组 (E–A)X= 0, 得基础解系 p2=(–1, –2, 1)T. 对应于?2=?3 =1的特征向量为k2p2 (0?k2?R). 于是， 于是， 机动 目录 上页 下页 返回 结束 特征值为 ?1=2, ?2= ?3= 1. ?1+?2+?3= 4 ?1?2?3= 2 = a11+ a22+ a33 = |A|. 观察例1 机动 目录 上页 下页 返回 结束 设A = (aij)n?n的特征值为?1, …, ?n, 则 (1) ?1 + … + ?n = a11+…+ann， (2) ?1 ?2 …?n = |A|, 其中a11+…+ann 称为A 的迹，记作tr(A). 性质2 证明： f(?) = ?–a11 –a12 … –a1n –a21 ?–a22 … –a2n … … … … –an1 –an2 … ?–ann = (?- ?1) … (?- ?n) . f(?) = ?n- (a11+…+ann )?n-1 +…+(-1)n|A| f(?) = ?n- (? 1+…+ ? n )?n-1 +…+(-1)n (? 1… ? n ) 比较上述两式?n-1项的系数和常数项，可得结论。 机动 目录 上页 下页 返回 结束 A 可逆当且仅当?1, …, ?n全不为零. 的确是方阵的一个 特征 . 推论 由此可知,特征值可以刻画方阵的可逆性, （3）AT 特征值为?1, …, ?n； （4）AH 特征值为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 设?是方阵A的特征值，X为A 的对应于 性质3 ?的特征向量， 则 对应的特征向量。 P3,定理1.2 例2 已知三阶方阵A有特征值1，2，3，求|E+2A|. 例3 （1）?m 是Am 的特征值; （2）|A|/? 是A* 的特征值； 设?是方阵A的特征值，X为A 的对应于 ?的特征向量，证明： 机动 目录 上页 下页 返回 结束 性质4 设?i是方阵A的特征值，它的代数重数是ni 几何维数是si，则