矩阵论简介及线性代数复习研究报告.ppt

矩 阵 论;前言;问题一 线性方程组的求解;其中;问题二 矩阵的算术运算;如何定义矩阵的除法运算;问题三 矩阵的分析运算;问题四 矩阵的简单形式;所用教材;课程教学要求;常用记号一;常用记号二;复数基本知识;代数基本定理;线性代数的有关知识;叫做 m 行 n 列矩阵, 简称 m×n 矩阵. 这 m×n 个 数叫做矩阵的元素, aij 叫做矩阵 A 的第 i 行第 j 列 元素. 元素是实数的矩阵叫做实矩阵,元素是复数 的矩阵叫做复矩阵, (1)式也简记为 A = (aij)m×n 或 A = (aij) , m×n 矩阵 A 也记作 Am×n . ; 2) 方阵 列矩阵 行矩阵 对 (1) 式, 当 m = n 时, A 称为 n 阶方阵. 当 m = 1 时, A 称为行矩阵. 当 n = 1 时, A 称为列矩阵. ; 3) 同型矩阵和相等矩阵 两个矩阵的行数相等、列数也相等时, 就称 它们是同型矩阵.如果 A = (aij) 与 B = (bij) 是同型 矩阵, 并且它们的对应元素相等,即 aij = bij (i=1,…,m;j=1,…n), 那么就称 A 与 B 相等, 记作 A=B.; 4) 零矩阵 单位矩阵 元素都是零的矩阵称为零矩阵,记作 O. 主对角线上的元素都是 1 , 其它元素都是 0 的 n 阶方阵, 叫做 n 阶单位方阵, 简记作 E 或 I.; 5) 主对角线以下(上)元素全为零的方阵称 为上(下)三角矩阵. 6) 除了主对角线以外, 其它元素全为零的 方阵称为对角矩阵.; 2. 矩阵的运算 1) 矩阵运算的定义 设 A = (aij)s×n , B = (bij)t×m 为两个矩阵, 当 s=t, n=m 时,它们为同型矩阵, 其加法运算定义为 A + B = (aij + bij) A + B 称为 A 与 B 的和. ; 当 n = t 时可以作乘法: AB = (cij)s×m , 其中;矩阵乘法的定义源于二个线性变换的复合运算 ; 2) 矩阵的运算性质 (i) 矩阵的加法满足 交换律: A + B = B + A, 结合律: (A + B) + C = A + (B +C). (ii) 矩阵的乘法满足结合律: (AB)C = A(BC). ; (iii) 矩阵的法和加法满足分配律 A(B + C) = AB + AC; (B + C)A = BA + CA. (iv) 数乘矩阵满足: ( k + l)A = kA +lA; k(A + B) = kA + kB; k(lA) = (kl)A; k(AB) = (kA)B = A(kB).; 3) 方阵的幂 设 A 是 n 阶方阵, 定义 A1 = A, A2 = A·A, … , Ak+1 = Ak ·A, 其中 k 为正整数. 4) 方阵的行列式 由 n 阶方阵 A 的元素所构成的行列式, 叫做 方阵 A 的行列式, 记作 |A| 或 detA.; 3. 一些特殊的矩阵 1) 设 A 为 m×n 阶矩阵,把它的行换成同序 号的列得到的新矩阵,叫做 A 的转置矩阵, 记作 A? 或 AT 矩阵的转置也是一种运算,若运算可行,则有 (AT)T = A ; (A + B)T = AT + BT ; (?A)T = ? AT ; (AB)T = BTAT . ; 2)、共轭转置矩阵;共轭转置矩阵有以下运算规律(设 A ,B 为复矩阵, ? ;3)设;设 A 为 n