2012导数的综合应用精典例题解析.doc

《导数的综合应用题型：利用导数研究函数的单调性、极值、最值 （1）若曲线在点处的切线与直线平行，求实数的值；（2）求函数的极大值； 解：（I）函数 所以 又曲线处的切线与直线平行， 所以 （II）令 当x变化时，的变化情况如下表： [来源:学。科。网Z。X。X。K] + 0 — 极大值 由表可知：的单调递增区间是，单调递减区间是 所以处取得极大值， 例2：已知函数 上的点的切线方程为y=3x+1 。若函数处有极值，求的表达式；在的条件下，求函数在[－3，1]上的最大值；若函数在区间[－2，1]上单调递增，求实数b的取值范围 解：（1）由 过的切线方程为：而过故 ③ 由①②③得 a=2，b=－4，c=5 ∴ （2）当 又在[－3，1]上最大值是13。 （3）y=f(x)在[－2，1]上单调递增，又由①知2a+b=0。 依题意在[－2，1]上恒有≥0，即 当；②当； ③当 综上所述，参数b的取值范围是 例．（2006年天津卷）已知函数，其中为参数，且．（1）当时，判断函数是否有极值；（2）要使函数的极小值大于零，求参数的取值范围；（3）若对（2）中所求的取值范围内的任意参数，函数在区间内都是增函数，求实数的取值范围． （Ⅰ）当时，，则在内是增函数，故无极值. （Ⅱ），令，得.由（Ⅰ），只需分下面两种情况讨论. ①当时，随x的变化的符号及的变化情况如下表： x 0 + 0 - 0 + ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 因此，函数在处取得极小值，且. 要使，必有，可得.由于，故②当时，随x的变化，的符号及的变化情况如下表： + 0 - 0 + 极大值 极小值 因此，函数处取得极小值，且 若，则.矛盾.所以当时，的极小值不会大于零. 综上，要使函数在内的极小值大于零，参数的取值范围为. （III）解：由（II）知，函数在区间与内都是增函数。 由题设，函数内是增函数，则a须满足不等式组 或 由（II），参数时时，.要使不等式关于参数恒成立，必有，即综上，解得或.所以的取值范围是[考查目的]本小题主要考查运用导数研究三角函数和函数的单调性及极值、解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力，以及分类讨论的数学思想方法.例：已知(1)当时, 求证在内是减函数; (2)若在内有且只有一个极值点, 求a的取值范围. 解: (1) ∵∴∵, ∴ 又∵二次函数的图象开口向上,∴在内, 故在内是减函数. (2)设极值点为则当时, ∵ ∴在内 在内即在内是增函数, 在内是减函数. 当时在内有且只有一个极值点, 且是极大值点. 当时, 同理可知, 在内且只有一个极值点, 且是极小值点. 当时, 由(1)知在内没有极值点. 故所求a的取值范围为 例：与函数. （1）若的图象在点处有公共的切线，求实数的值；（2）设，求函数的极值. 解：（I）因为，所以点同时在函数的图象上因为， ， 由已知，得，所以，即 （II）因为（ 所以 当时， 因为，且所以对恒成立所以在上单调递增，无极值 当时， 令，解得（舍）所以当时，的变化情况如下表： 0 + 极小值 所以当时，取得极小值，且. 综上，当时，函数在上无极值；当时，函数在处取得极小值. 例6、（2010年陕西最后一次押题卷）已知函数，（ ） （1）求的单调递增区间； （2）若，记函数，若在区间（1，3）上总不单调，求实数m的范围； 解：（1）递增区间为（0，1）；递增区间为（1，+）； 无增区间。 （2）依题意，所以=0有正负两个根，依题意必有正根在区间（1，3）上，由根的分布可得且得： 思考交流 已知函数在R上是减函数,求实数a 的取值范围; 2. 已知函数在区间为减函数, 在区间为增函数,求实数a的取值范围 3.已函数 (1)讨论函数的单调区间;(2)当函数在区间内是减函数,求实数a的取值范围. 4.已知函数在处取得极值10,求实数a 与b的值; 5．已知函数f(x)=x+(1-a) x-a(a+2)x+b(a,bR).若函数f(x)在区间（-1，1）上不单调，求a的取值范围. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 6.函数为常数）是奇函数. （1）若，求函数的图象与横轴的交点坐标. （2）设试求的最大值F（t）； （3）求F（t）的最小值. 7、已知函数 （1）当时，求的最小值； （2）求单调区间； 8、（2009 浙江文科）已知函数f(x)=x3－(k2－k+1)x2+5x－2，g(x)=k2x2+kx+1（其中k∈