离散数学第10章 代数系统教材课程.ppt

10.4 子群 10.4.2 子群的判定 （2）设H={（1，b）| b∈R}， （1，a），（1，b）∈H，有（1，b）-1=（1，-b）。 因此， （1，a）* （1，b）-1=（1，a）*（1，-b）=（1，a-b）∈H。 根据定理10.4.3可知：（H，*）是（G，*）的子群。 例10.5.1 设（Z，·），（Q，·），（R，·）都是阿贝尔群，其中Z为正整数集，Q为有理数集，R为实数集，·为普通乘法。 10.5 阿贝尔群和循环群 10.5.1 阿贝尔群 定义10.5.1 如果群（G，）中的运算满足交换律，即任意a，b∈G均有a b =b a，则称该群为阿贝尔（Abel）群，或交换群。 例10.5.2 设G={a，b，c，d}，“·”为G上的二元运算，它由表10.5-1 给出。不难知道，（G，·）是一个群，且是一个阿贝尔群。e为G中的单位元，G中任何元素的逆元就是它自己，称这个群为Klein四元群，简称四元群。 10.5 阿贝尔群和循环群 10.5.1 阿贝尔群 · e a b c e e a b c a a e c b b b c e a c c b a e 证明 x∈G，有x2=e，即x x=e，因此x-1=x。 a，b∈G，则a b =a-1 b-1=（b a）-1= b a。因此（G，）是阿贝尔群。 10.5 阿贝尔群和循环群 10.5.1 阿贝尔群 例10.5.3 试证明如果群（G， ）的每个元素都满足方程x2=e，则（G，）是阿贝尔群。 10.5 阿贝尔群和循环群 10.5.1 阿贝尔群 定理10.5.1 证明关于群（G，）的下列说法是等价的： （1）（G， ）是阿贝尔群； （2）a，b∈G，（a b）2=a2 b2； （3）a，b∈G，（a b）-1=a-1 b-1； （4）a，b∈G，（a b）n=an bn； （5）a，b∈G，存在三个相邻整数n，使（a b）n=an bn。 10.5 阿贝尔群和循环群 10.5.2 循环群 定义10.5.2 设（G，）是群，若存在元素a∈G，使得G={an|n∈Z}，则称该群为循环群。记作G=（a），并称元素a是循环群（G，）的生成元。 例10.5.4 整数加群（Z，+）是循环群，可验证1是其生成元。 例10.5.5 模n整数加群（Zn ，）是循环群，其中Zn＝{0，1，…，n-1}，可验证1是其生成元。 10.5 阿贝尔群和循环群 10.5.2 循环群 定理10.5.2 设G=（a）关于运算 是无限循环群，则G只有两个生成元a和a-1。 证明 由G=（a），任取ak∈G，有ak=（a-1）-k，从而a-1也是G的生成元。 再证明G只有a和a-1这两个生成元。假设b也是G的生成元，则G=（b），由a∈G，可知存在整数s使得a=bs，又由b∈G=（a）可知，存在一整数t使得b=at，从而得到a= bs=（ at）s=ats。由群的消去律得ats-1=e。因为G是无限群，必有ts-1=0。从而证明t=s=1或t=s=-1，即b=a或b=a-1。 10.5 阿贝尔群和循环群 10.5.2 循环群 定理10.5.3 任何一个循环群必定是阿贝尔群。 证明 设（G，）是一个循环群，它的生成元是a。那么，对于任意的x，y∈G，必有m，n∈Z，使得x=am和y=an。又有x y= am an=am+n= an am=y x，因此，（G，）是一个阿贝尔群。 10.5 阿贝尔群和循环群 10.5.2 循环群 定理10.5.4 循环群的子群必是循环群。 定理10.5.5 设（G，）是一个由元素a∈G生成的有限循环群。如果G的阶数是n，那么元素a的阶也是n，即|G|=|a|，且此时 G={a，a2，…，an-1，an=e}。 10.6 置换群与伯恩赛德定理 10.6.1 置换群 定义10.6.1 非空集合A到它自身的映射f:A→A称为A上的一个变换，若f是双射，则称f为A上的一个一一变换。 定理10.6.1 设E（A）为A上的全体一一变换构成的集合，则E（A）关于变换的复合运算构成一个群。 例10.6.1 设A是平面内所有点的集合，那么平面绕一个定点的旋转是A的一一变换。设G是所有绕这个定点的旋转组成的集合，是变换的复合运算，则（G，）是一个变换群。 10.6 置换群与伯恩赛德定理 10.6.1 置换群 定义10.6.2 当A是有限非空集合时，A上的一一变换称为A上的置换。当|A|=n时，称