《线性代数》学习指导 第五章 矩阵的特征值与特征向量(43P).doc

第五章 矩阵的特征值与特征向量 内容提要 1 . 特征值和特征向量 定义1 设是数域P上的n阶矩阵，若对于数域P中的数，存在数域P上的非零n维列向量X，使得 则称为矩阵A的特征值，称X为矩阵A属于（或对应于）特征值的特征向量 注意：1）是方阵； 2）特征向量 X 是非零列向量； 3）方阵 与特征值 对应的特征向量不唯一 4）一个特征向量只能属于一个特征值. 2．特征值和特征向量的计算 计算矩阵A的特征值与特征向量的步骤为： （1） 计算n阶矩阵A的特征多项式｜E－A｜； （2） 求出特征方程｜E－A｜＝０的全部根，它们就是矩阵A的全部特征值； （3） 设1 ，2 ，… ，s 是A的全部互异特征值。 对于每一个i，解齐次线性方程组0，求出它的一个基础解系，该基础解系的向量就是A属于特征值i的线性无关的特征向量，方程组的全体非零解向量就是A属于特征值i的全体特征向量. 3． 特征值和特征向量的性质 性质1 （1）若X是矩阵A属于特征值的特征向量，则kX（）也是A属于的特征向量； （2）若是矩阵A属于特征值的特征向量，则它们的非零线性组合也是A属于的特征向量； （3）若A是可逆矩阵，是A的一个特征值，则是A—1的一个特征值，是A*的一个特征值； （4）设是n阶矩阵A的一个特征值，f（x）= amxm + am-1xm-1 + … + a1x + a0 为一个多项式，则是f（A）的一个特征值。 性质2（1） （2） 性质3 n阶矩阵A和它的转置矩阵有相同的特征值 性质4 n阶矩阵A 不同的特征值所对应的特征向量线性无关 4. 相似矩阵 定义2 设A、B为n阶矩阵，若存在可逆矩阵P，使得 Ｂ＝P―1ＡP n阶矩阵，若A∽B，则 （1） ； （2） ；　 （3）A、B 有相同的迹和特征多项式，相同的特征值； （4） A，B或者都可逆或者都不可逆. 当A，B都可逆时，∽； （5）设f（x）= amxm + am-1xm-1 + … + a1x + a0 为一个多项式，则 f（A）∽ f（B） ； 6．n阶矩阵A相似对角化的条件 （1）n阶矩阵A与对角矩阵Λ相似的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量. （2）n阶矩阵A与对角阵相似的充要条件是A的每个k重特征值恰好对应有k个线性无关的特征向量. 注（1）与单位矩阵相似的 n 阶矩阵只有单位阵 E 本身，与数量矩阵 kE 相似的 n 阶方阵只有数量矩阵 kE本身 （2）有相同特征多项式的矩阵不一定相似。 7．n阶矩阵A相似对角化的方法 （1）解特征方程，求出的全部特征值，，设是重根 （2）对每个特征值，解齐次线性方程组，求得基础解系； （3）令可逆矩阵 则 8.实对称矩阵的特征值和特征向量 8.1实对称矩阵的特征值和特征向量的性质 实对称矩阵的特征值都是实数 实对称矩阵的不同特征值对应的特征向量是正交的 对于任意一个n阶实对称矩阵A，都存在一个n阶正交矩阵Q，使得为对角阵 8.2 用正交变换法化实对称阵为对角阵的步骤 1） 解特征方程求出对称阵的全部的特征值（根），，设是重根； 2）对每个特征值，解齐次线性方程组，求得基础解系 3）将基础解系正交单位化，得正交 单位向量组 4）令可逆矩阵 则 二．重点难点 ⒈ 矩阵的特征值和特征向量 矩阵的特征值与特征向量的定义、性质与求法；矩阵的特征值与迹、矩阵行列式的关系. 2． 相似矩阵与矩阵对角化 矩阵对角化的必要条件与充分条件；矩阵对角化的判定与对角化的方法；矩阵对角化的应用. 3． 实对称矩阵的对角化 实对称矩阵的特征值与特征向量的性质，实对称矩阵正交相似于对角阵的化法. 三．学习要求 理解矩阵的特征值、特征向量的概念，掌握矩阵特征值的性质，掌握求矩阵特征值和特征向量的方法理解矩阵相似的概念，掌握相似矩阵的性质，矩阵可相似对角化的充分必要条件，掌握将矩阵化为相似对角矩阵的方法掌握实对称矩阵的特征值和特征向量的性质则A的伴随矩阵的一个特征值是___________ 分析：考虑根据可得A的一个特征值，再根据A与其伴随矩阵的关系即可求解. 解 由于，于是有是A的一个特征值. 又由于 易知 由，所以是A的一个特征值，则是的特征值，因此的一个特征值是 例2 已知三阶矩阵A=有三个线性无关的特征向量，则参数=____________ 分析 三阶矩阵A有三个线性无关的特征向量，则A可以对角化，可通过先求特征根中的重根再代入即可求得 解 矩阵A的特征多项式为 解得矩阵A的特征值为 因为A有３个线性无关的特征向量，所以A可以