《线性代数》学习指导 第一章 行列式(44P).doc

第一章 行列式 行列式是一个重要的数学工具．它广泛应用于理、工、农、医、经济等很多领域。在线性代数中，行列式更是一种不可或缺的重要工具.本章主要介绍行列式的定义、性质、计算及其在求解线性方程组中的应用——Cramer（克莱姆）法则. §1.1 行列式定义 一、数域 定义1.1 设P是含有0和1的一个数集，若P中任意两个数的和、差、积、商（除数不为0）仍在P中，则称P为一个数域． 如果数集P中任意两个数作某一运算后的结果任在P中，则称P对这个运算封闭。因此数域的定义也可简单叙述为：含有0和1且对加法、减法、乘法、除法（除数不为0）封闭的数集称为数域. 全体有理数组成的集合、全体实数组成的集合、全体复数组成的集合都是数域，分别称为有理数域、实数域、复数域依次用Q、R、C来记。全体整数组成的集合不是数域，因为任意两个整数的商不一定是整数. 要指出的是所有的数域都包含有理数域。这是因为如果P是一个数域，则1在P中且由于P对加法封闭，所以1+1=2，2+1=3，，n+1全在P中，即 P包含全体自然数；又因0在P中且P对减法封闭，于是 0 - n = - n在P中,所以P包含全体整数；因为任意一个有理数都可表为两个整数的商，再由P对除法的封闭性知P包含全体有理数。即任何一个数域都包含有理数域. 今后本教材中所论及的数都是指某一固定数域中的数，文中一般不再特别加以说明. 二、排列 为了给出n阶行列式的定义，先介绍n级排列的概念． 定义1.2 由自然数1 ，2 ，… ，n组成的全排列称为n级排列．记作 i1 i2 … in n级排列共有n!个. n级排列中任意两个数，如果大数排在小数之前，则称这两个数构成一个逆序，否则称为顺序.一个n级排列i1 i2 … in的逆序总数称为此排列的逆序数，记作 ?（i1 i2 … in） ．逆序数为奇数的排列称为奇排列；逆序数为偶数的排列称为偶排列．因??（1 2 … n）= 0，所以排列1 2 … n是偶排列。我们称此排列为自然排列. 在计算排列的逆序数时，为了不重复和漏掉，可从排列的第一个数开始计算它与后面的数构成的逆序数，然后再将这些数的逆序数相加即可得排列的逆序数. 求下列排列的逆序数并确定其奇偶性． （1）54213 （2）14253 （3）n … 3 2 1 （4）135…246… 解（1）在排列54213中，数5与后面的数构成4个逆序，数4与后面的数构成3个逆序，数2与后面的数构成1个逆序，数1与后面的数没有构成逆序，数3后面没有数.因此 ?（54213）= 4+3+1+0+0=8 ，该排列为偶排列. （2）?（14253）=0+2+0+1+0=3，该排列为奇排列. （3）?（n … 3 2 1）=（n-1）+（n-2）+ … +2+1= 或者根据该排列中任何两个数组成的数对都构成逆序，计算出该排列所以可能组成的数对的个数，它就是排列的逆序数，即 ?（n … 3 2 1）= = 当n = 4 k或n = 4 k ＋?1（ k = 0 ，1 ，2 ，…）时此排列为偶排列；当n = 4 k ＋ 2或n = 4 k ＋ 3（k = 0 ，1 ，2 …）时此排列为奇排列. （4）?（135…(2n-1)246…(2n)）=1+2+ … +（n-1）= 其奇偶性讨论同（3）中排列的奇偶性讨论. n级排列中互换两数的位置称为一次对换.若互换的是相邻两数，则称作相邻对换. 注意到例1中排列（2）是由排列（1）互换5和1而得到的．结果（1）?，（2）两个排列具有不同的奇偶性.一次对换是否一定改变排列的奇偶性呢？对此有以下的结论： 定理1.1 一次对换改变排列的奇偶性. 证 （1） 相邻对换情形． 设n级排列 … jk… 互换j，k两数，经相邻对换后排列变成 … kj… 其中“…”表示那些在变换中不动的数。 显然，这一变化只使j，k两数间的“序”发生变化：若它们原来为逆序，则变换后为顺序；若原来为顺序，则变换后为逆序．而它们与其余任意数间的序都保持不变．变换前后两个排列的逆序数只是多1或少1．从而相邻一次对换改变排列的奇偶性.由此还可得出：作奇数次相邻对换改变排列的奇偶性；作偶数次相邻对换不改变排列的奇偶性. （2） 不相邻对换情形 设n级排列 … j i1 i2… is k… 直接互换j，k两数后排列变成 … k i1 i2… is j… 这一结果可通过相邻对换后得到。首先将原排列中的数k依次与其后的i1 … is j作s+1次相邻对换变后为 … i1 i2… is jk … 再将数k依次与其前面的is … i1 作s次相邻对换后得 … ki1 i2… is j … 这一结果是经过奇数次（2