第1章线性空间1-3教材课程.ppt

线性代数与矩阵论 ; 矩阵论是高等学校和研究院、所面向研究生开设的一门数学基础课。作为数学的一个重要分支, 理论具有极为丰富的内容；;主要参考书目：;矩阵论内容要点索引;第一章 线性空间;是一个数域．;矛盾） ;二 线性空间的基本概念及其性质;设V是一个非空集合，P是一个数域，在集合V中;加法满足下列四条规则： ;3 ．线性空间的判定：;例1　引例1, 2中的 Pn, P[x]; 例4　实数区间 上的所有实值连续函数构成的集合 ，对于通常函数的加法及实数与函数的乘法构成实线性空间，称之为连续函数空间。记 为由所有定义在实数R上的连续函数组成的空间。 ;例5　全体正实数R＋，;其次，加法和数量乘法满足下列算律 ;从线性空间的定义，可推导出它的一些简单性质。 ;对任意 ; §1.2 线性空间的基、维数与向量的坐标 ; 在线性代数中讨论n维向量时，我们曾引进了线性组合、线性相关(无关)、等价向量组、极大无关组等许多重要概念, 而这些概念仅与n维向量的加法及数乘有关，所以不难将它们推广到一般的数域P上的线性空间V。;例 向量组;定义5 设;; 例 6　在多项式空间 中，讨论向量组的线性 关性: ; 2. 设向量组 线性无关,而 线性相关.那么β一定可以由 线性表示.; ; 注意：1.　若线性空间V只含有一个零向量，则称V;例　 3 维几何空间R3＝ ;下的坐标，其中 ; 例7　求复数集C分别作为实线性空间和复线性空间（对于通常的加法与数乘）的一个基、维数及任一复数 在对应基下的坐标。; 解 设 ; 解;故 在 下的坐标为 ;例10;§1.3　基变换与坐标变换; 定义7 设n维线性空间V中有两个基 （旧的） 与 （新的） 它们之间的关系为：; 由过渡矩阵的定义看出，过渡矩阵A的第j列正好是向量 在基 下的坐标（ ）。 ;在形式书写法下有下列运算规律; 定理1　设n维线性空间V的一个基 到另一个基 的过渡矩阵是A，V中 元素 在这二个基下的坐标分别是（ ） 和（ ） ，则有坐标变换公式 或 ; 又 ;例　 在Pn中，求由基 ;而，;到基 ;例 考虑中 以下两组向量： ;解：易知; 解（1）因为 ，所以只要证明 线性无关即可。设 ;故 ;（2） ; （3）显然，矩阵P在 下的坐标是（ ），由定理1，P在基 下的坐标为 ; 与向量组;为其两组基，求从基 到基 的过渡矩阵， 并求向量 在这两组基下的坐标。 ;向量 第一组基下的坐标为 利用坐标变换公式可以求得 在第二组基下的坐标为