第2讲 空间向量与立体几何1共线向量与共面向量定理 教材课程.ppt

∴ =（0，1，0）， =（1，1，-1）， =（2，0，-2）. 设 =x +y =（y，x+y，-y）， y=2， x+y=0， -y=-2. ∴ x=-2，y=2. ∴ ∴存在实数x，y使 =x +y ， ∴ 、 、 共面，又∵PB在平面EFG外， ∴PB∥平面EFG. （2）解∵ =（1，2，-1）， =（-2，2，0）. 设异面直线EG，BD的夹角为 ，由题意得： cos = （3）解 假设在线段CD上，存在一点Q满足题意， 则Q点坐标可设为（x0，2，0）. 设平面EFQ的法向量为n=（x，y，z），则有 n· =0， （x，y，z）·（0，1，0）=0， n· =0. （x，y，z） · （x0，2，1）=0. 即 ∴y=0，z=-x0x，取x=1,∴n=(1,0,-x0). 则 又∵x00，∴x0= ，∴Q 即在线段CD上存在一点Q满足题意. 探究提高 空间向量最适合于解决这类立体几何中的探索性问题，它无需进行复杂繁难的作图、论证、推理，只需通过坐标运算进行判断.在解题过程中，往往把“是否存在”问题，转化为“点的坐标是否有解，是否有规定范围的解”等，所以使问题的解决更简单、有效，应善于运用这一方法解题. 变式训练4 （2009·宁夏、海南理，19）如图，四 棱锥S—ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是 底面边长的 倍，P为侧棱SD上的点. （1）求证：AC⊥SD； （2）若SD⊥平面PAC，求二面角P— AC—D的大小； （3）在（2）的条件下，侧棱SC上是否 存在一点E，使得BE∥平面PAC.若存在， 求SE∶EC的值；若不存在，试说明理由. （1）证明 连结BD，设AC交BD于O，由题意知SO⊥平面ABCD，以O为坐标原点， 、 、 分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系O-xyz如图所示. 设底面边长为a,则高SO= a.于是S（0，0， a）, · =0. 故OC⊥SD，从而AC⊥SD. (2)解 由题意知，平面PAC的一个法向量 平面DAC的一个法向量 设所求二面角为 ,则cos = ，故所求二面角P—AC—D的大小为30°. (3)解 在棱SC上存在一点E使BE∥平面PAC. 由（2）知 是平面PAC的一个法向量, 而 即当SE∶EC=2∶1时， ⊥ 而BE不在平面PAC内，故BE∥平面PAC. 规律方法总结 1.点共线、点共面的证明方法 （1）点共线 由共线向量定理可知，要证明三点A、B、C共线， 只需证明：AB∥AC，且AB∩AC=A. （2）点共面 由空间向量基本定理知，要证P、M、A、B四点 共面，只需证明存在有序实数对（x,y），使 =x +y . 2.空间线面关系的判定 设不同直线l，m的方向向量分别为a,b，不同平 面 、的法向量分别为u,v，则 l∥ma∥ba=kb,k∈R; l⊥ma⊥ba·b=0; l∥ a⊥ua·u=0; l⊥ a∥ua=ku,k∈R; ∥ u∥vu=kv,k∈R; ⊥ u⊥vu·v=0. 3.空间角的计算 （1）两条异面直线所成角的求法 设直线a,b的方向向量为a,b，其夹角为 ，则 cos =|cos |= (其中 为异面直线a,b 所成的角). （2）直线和平面所成角的求法 如图所示，设直线l的方向向量为e，平面 的