14.二次函数的图象与性质C.doc

二次函数的图象与性质 一、选择题 10．已知a≥2，m2﹣2am+2=0，n2﹣2an+2=0，则（m﹣1）2+（n﹣1）2的最小值是（　　） A．6 B．3 C．﹣3 D．0 【考点】根与系数的关系；二次函数的最值． 【分析】根据已知条件得到m，n是关于x的方程x2﹣2ax+2=0的两个根，根据根与系数的关系得到m+n=2a，mn=2，于是得到4（a﹣）2﹣3，当a=2时，（m﹣1）2+（n﹣1）2有最小值，代入即可得到结论． 【解答】解：∵m2﹣2am+2=0，n2﹣2an+2=0， ∴m，n是关于x的方程x2﹣2ax+2=0的两个根， ∴m+n=2a，mn=2， ∴（m﹣1）2+（n﹣1）2=m2﹣2m+1+n2﹣2n+1=（m+n）2﹣2mn﹣2（m+n）+2=4a2﹣4﹣4a+2=4（a﹣）2﹣3， ∵a≥2， ∴当a=2时，（m﹣1）2+（n﹣1）2有最小值， ∴（m﹣1）2+（n﹣1）2的最小值=4（a﹣）2+3=4（2﹣）2﹣3=6， 故选A． 10．（2分）（2016?沈阳）在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+2x﹣3的图象如图所示，点A（x1，y1），B（x2，y2）是该二次函数图象上的两点，其中﹣3≤x1＜x2≤0，则下列结论正确的是（　　） A．y1＜y2B．y1＞y2 C．y的最小值是﹣3 D．y的最小值是﹣4 【分析】根据抛物线解析式求得抛物线的顶点坐标，结合函数图象的增减性进行解答． 【解答】解：y=x2+2x﹣3=（x+3）（x﹣1）， 则该抛物线与x轴的两交点横坐标分别是﹣3、1． 又y=x2+2x﹣3=（x+1）2﹣4， ∴该抛物线的顶点坐标是（﹣1，﹣4），对称轴为x=﹣1． A、无法确定点A、B离对称轴x=﹣1的远近，故无法判断y1与y2的大小，故本选项错误； B、无法确定点A、B离对称轴x=﹣1的远近，故无法判断y1与y2的大小，故本选项错误； C、y的最小值是﹣4，故本选项错误； D、y的最小值是﹣4，故本选项正确． 故选：D． 【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值，解题时，利用了“数形结合”的数学思想． 9．如图，二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）图象的顶点为D，其图象与x轴的交点A、B的横坐标分别为﹣1和3，则下列结论正确的是（　　） A．2a﹣b=0 B．a+b+c＞0 C．3a﹣c=0 D．当a=时，△ABD是等腰直角三角形 【考点】二次函数图象与系数的关系． 【分析】由于抛物线与x轴的交点A、B的横坐标分别为﹣1，3，得到对称轴为直线x=1，则﹣=1，即2a+b=0，得出，选项A错误； 当x=1时，y＜0，得出a+b+c＜0，得出选项B错误； 当x=﹣1时，y=0，即a﹣b+c=0，而b=﹣2a，可得到a与c的关系，得出选项C错误； 由a=，则b=﹣1，c=﹣，对称轴x=1与x轴的交点为E，先求出顶点D的坐标，由三角形边的关系得出△ADE和△BDE都为等腰直角三角形，得出选项D正确；即可得出结论． 【答】解：∵抛物线与x轴的交点A、B的横坐标分别为﹣1，3， ∴抛物线的对称轴为直线x=1，则﹣=1， ∴2a+b=0， ∴选项A错误； ∴当自变量取1时，对应的函数图象在x轴下方， ∴x=1时，y＜0，则a+b+c＜0， ∴选项B错误； ∵A点坐标为（﹣1，0）， ∴a﹣b+c=0，而b=﹣2a， ∴a+2a+c=0， ∴3a+c=0， ∴选项C错误； 当a=，则b=﹣1，c=﹣，对称轴x=1与x轴的交点为E，如图， ∴抛物线的解析式为y=x2﹣x﹣， 把x=1代入得y=﹣1﹣=﹣2， ∴D点坐标为（1，﹣2）， ∴AE=2，BE=2，DE=2， ∴△ADE和△BDE都为等腰直角三角形， ∴△ADB为等腰直角三角形， ∴选项D正确． 故选D． 12．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）和正比例函数y=x的图象如图所示，则方程ax2+（b﹣）x+c=0（a≠0）的两根之和（　　） A．大于0 B．等于0 C．小于0 D．不能确定 【考点】抛物线与x轴的交点． 【分析】设ax2+bx+c=0（a≠0）的两根为x1，x2，由二次函数的图象可知x1+x2＞0，a＞0，设方程ax2+（b﹣）x+c=0（a≠0）的两根为a，b再根据根与系数的关系即可得出结论． 【解答】解：设ax2+bx+c=0（a≠0）的两根为x1，x2， ∵由二次函数的图象可知x1+x2＞0，a＞0， ∴﹣＞0． 设方程ax2+（b﹣）x+c=0（a≠0）的两根为a，b，则a+b=﹣=﹣+， ∵a＞0， ∴＞0， ∴a+b＞0． 故选C． 7．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①b＜0；②c＞0；③a+c＜b；④b2﹣4ac＞0，其中正确的个数是（　　） A