第6章 new多项式矩阵理论-更新中培训资料.ppt

第六章多项式矩阵理论;引言（经典控制理论、现代控制理论、多项式矩阵理论的应用）;本章主要内容 多项式矩阵理论是线性系统复频域理论的主要数学基础，这里主要学习与多项式、多项式矩有关的数学知识： 多项式及其互质性 多项式矩阵极其属性 多项式矩阵的初等变换、多项式矩阵的行（列）次 行(列）既约多项式矩阵、多项式矩阵互质性 多项式矩阵的Smith规范型、线性矩阵束sE-A和 Kronecker规范型;6.1 多项式及其互质性1 多项式及其性质;;推论6-2 (余式定理)若n(s)∈R(s), α∈C, 则n(s)被d(s)=(s- α)除余式为常数n(α)。; 定理6-3 设有两个多项式 d(s) 和 n(s) 的，d(s)≠0，当且仅当满足下面条件之一，d(s) 和 n(s) 是互质多项式。;多项式互质的Sylvester 矩阵判据 Sylvester 矩阵：;2 有理函数;6.2 多项式矩阵及其属性;2 方多项式矩阵的奇异和奇异 多项式矩阵的奇异性和非奇异性在含义上等同于实数矩阵。 定义6-5 [奇异非奇异]如果方多项式矩阵A(s)的行列式为有理分式域R(s)上的零元，即det A(s)≡0， 则A(s)为奇异；如果方多项式矩阵A(s)的行列式为有理分式域R(s)上的非零元，即det A(s)?0，则A(s)为非奇异。;3 方多项式矩阵的逆 多项式矩阵A(s)有逆的充分必要条件是A(s)非奇异。当且仅当A(s) 非奇异，存在同维方有理分式矩阵B(s)，使下式成立： B(s)A(s) = A(s)B(s) = I ， ?所有s∈C 且有 B(s) = A-1(s) 计算A-1(s)的基本关系式为; 定义6-6 [线性相关和线性无关] 称多项式向量组{q1(s), q2(s), …, qm(s)}为线性相关，当且仅当存在一组不全为零的多项式{α1(s), α2(s), …, αm(s)}使下式成立： α1(s)q1(s)+α2(s)q2(s)+ … +αm(s)qm(s) = 0 (6-17) 称多项式向量组{q1(s), q2(s), …, qm(s)}为线性无关，当且仅当不存在一组不全为零的多项式{α1(s), α2(s), …, αm(s)}使(6-17)成立，即当且仅当使(6-17)成立的 α1(s) = α2(s) = … =αm(s) = 0。; 定义6-7 [秩] 称m×n多项式矩阵A(s)的秩为r，记为RankA(s) = r，如果至少存在一个r×r子式不恒等于零，而所有大于和等于(r+1)×(r+1)的子式恒等于零。 ; 定义6-8 [单模矩阵又称么模矩阵] 称方多项式矩阵A(s)为单模阵，当且仅当其行列式detA(s) = c为独立于s的非零常数。 ;6.3 多项式矩阵的初等变换;2 单模变换和初等变换; 行Hermite型的特点： ⑴ 前 r 行为非零行，其中非零元素为多项式； ⑵ 每行左起第一个非零元素为首一多项式 aiki； ⑶ aiki所在的位置随 i 增加右移，即 k1k2…kr； ⑷ 与aiki同列的下面元素为零，上面元素阶次低于 deg aiki，若 aiki=1，上面元素为零。; 结论6-14 [行Hermite型的性质] 设A(s)为n×n的非奇异多项式矩阵, ?(s) = T(s)A(s), T(s)为任意 n×n单模阵，则多项式矩阵A(s)和?(s)具有相同行Hermite型。;6.4 多项式矩阵的行次和列次 为了讨论多项式矩阵的既约性，这一节里，我们将引入行次和列次的概念。多项式矩阵的行次和列次的定义与多项式次数的定义有所不同，因为行次对应的是行多项式向量的次数，列次对应的是列多项式向量的次数。;4 行次表达式和列次表达式 多项式矩阵的行次表达式和列次表达式是行次与列次在多项式矩阵中的一个直接应用，而行次表达式和列次表达式有助于简化线性系统的复频域分析中某些问题的讨论。; 行次表达式：令δriM(s) = kri ，多项式矩阵 M(s) 可以写成 M(s) = Hr(s) Mhr + Mlr(s) (6-25) 其中;6.5 既约性（Redu