第一章-线性代数（北京邮电大学出版社 曾金平 张忠志主编）学习指导书及课后习题答案.doc

第一章 矩阵 一、主要内容 本章主要讨论矩阵的运算及其性质，方阵的行列式及其性质，矩阵的秩与初等变换，分块矩阵的运算等． （一）、矩阵的运算 矩阵的运算主要包括矩阵的线性运算（加法与数乘）、矩阵的乘法运算和矩阵的转置运算. 关于矩阵的运算，应注意以下几点： 1．矩阵运算的可行性，例如，两个同型矩阵才能相加．又如，只有当矩阵的列数与矩阵的行数相等时，与才能相乘．值得注意的是，对于同阶方阵而言，矩阵的加法、数乘、乘法等运算都是可行的． ２．矩阵运算的性质是简化矩阵运算的基础．一般而言，运算规律包含交换律、结合律、分配律等．和数的运算不同，对于矩阵运算，有些规律不再成立. 例如，矩阵的乘法具有结合律，即，但它不具有交换律，即一般情况下．正因为如此，矩阵运算的分配律包含如下两种形式：，和．值得注意的是，对于矩阵乘法而言，消去律同样不再成立. 换句话说，并不意味着或. 另外，有些特规律，如，，需特别关注． ３．将矩阵分块的目的是为了简化矩阵的计算．分块矩阵的运算就其运算性质而言，与矩阵的运算性质相仿．为了更有效地进行计算，应根据问题的目的，对有关矩阵适当地分块．例如，为了计算下面矩阵 的逆矩阵和相应矩阵的行列式，可令 ，　. 则 . ． 这样便将四阶方阵求逆问题转化为二阶方阵的求逆问题，求四阶行列式的值转化为求二阶行列式的值，从而达到简化计算的目的． （二）、行列式 行列式是方阵的重要数值特征之一，它反映了方阵的某些内在性质. 例如，方阵可逆的充分必要条件是．行列式的计算是本章的重要内容之一．二阶、三阶行列式的计算可以采用对角线法则，高阶行列式的计算则不再成立对角线法则.一般性况下，行列式的计算有如下两个基本方法： 1．利用拉普拉斯展开定理求行列式．这是一种降阶求解的方法，其运算量较大．采用这种方法计算行列式时，首先应分析行列式元素的特点，并利用行列式的性质将行列式的某行或某列的元素尽可能多的变为零，然后应用展开定理计算． 2．利用上（下）三角行列式的值计算行列式．首先应用行列式的三条变换性质将给定的行列式变成上（下）三角行列式，然后再计算． (三)、矩阵的初等变换、矩阵的秩 矩阵的初等变换是研究线性代数内容的重要工具，它具有性质：矩阵的初等变换不改变矩阵的秩，如 若，则． 　　矩阵的初等变换与行列式的变换性质就其内容而言是相似的，但本质上是两个截然不同的概念．矩阵的初等变换将一个矩阵变成了另一个矩阵，二者是不相等的；行列式的变换尽管将一个行列式变成另一个行列式，但它们的值之间有着紧密的关系，例如，若，则． 矩阵的秩是矩阵的另一重要数值特征，它反映了矩阵的某些重要性质，例如由配套教材中的定理1.6.4不难得出：阶方阵可逆的充分必要条件是． 因而，求矩阵的秩是一个典型问题，其具体求法如下： 给定矩阵 . 第一步：利用矩阵的初等行变换将化为行阶梯形矩阵； 第二步：求，即行阶梯形矩阵的非零行； 第三步：根据矩阵秩的定义，得. (四)、逆矩阵及其计算 逆矩阵是矩阵理论中的一个重要概念，其定义为：令是阶方阵，若存在阶方阵，使得 ， 则称是一个可逆矩阵，而称为的逆矩阵． 根据逆矩阵的性质和矩阵行列式的性质：，可得矩阵逆矩阵的等价定义（参见配套教材中的定理1.6.3）：令是阶方阵，若存在阶方阵，使得 ， 则称是一个可逆矩阵，而称为的逆矩阵． 方阵可逆的充分必要条件为． 对于二阶的方阵，当时，则可逆且． 当方阵的阶数大于2时，可以运用矩阵的初等行变换求逆矩阵． 给定方阵 . 其逆矩阵的具体求法如下： 第一步：构造矩阵； 第二步：对矩阵运用矩阵的初等行变换，将的子块化成单位矩阵，同时将的子块化成了某个矩阵，也就是说，化为行标准型矩阵，即 ； 第三步：根据逆矩阵的性质得：． （五）、矩阵的应用 1.求矩阵方程 设矩阵可逆，为已知矩阵，未知， （1）若 则 （2）若 则； （3）若（或，则 2.克莱姆法则 如果含有个方程的元线性方程组 的系数矩阵的行列式 , 则线性方程组（1.6.1）有唯一解，且其解可表示为 ， ，… ，, 其中是用常数项代替系数矩阵中第列对应元素得到的阶行列式，即 ，. 以上克莱姆法则是线性方程组中重要而基本的内容，应熟练掌握其内容. 克莱姆法则将元线性方程组的求解问题化成个阶行列式的计算问题。然而，在用克莱姆法则求解线性方程组时，存在以下局限性： 要求线性方程组中方程的个数与未知元的个数相等； 要求系数矩阵的行列式非零； 当未知元个数很大时，求解的运算量很大，不适用. 在下一章，我们将针对更一般的线性方程组，讨论它的可解性和解的结构. 二、基本要求与疑难解析 （一）基本要求 1. 熟悉矩阵概念。理解单位矩阵，对角矩阵，对称矩阵. 2. 熟练