第一章 矩阵理论(管理数学基础)培训资料.ppt

1.2.2方阵相似的条件 定理1.6 方阵A与B相似的充要条件是：A与B有全同的不变因子。而且还可以得出以下 推论：方阵A与E相似的充要条件是A与B有全同的初等因子 1.2.3方阵在相似变换下的若当标准形 定理1.7 设n阶方阵A的全部初等因子为： 由此称J在相似变换下的若当标准形，或称若当法式。J中的对角块 称为相应于 的一个 阶若当块。 1.2.4方阵在相似变换下的有理标准形 定义 给定多项式f(?)= 由f(?)构成的n阶方阵 称为f(?)的伴侣方阵 1.3 方阵特征值的估计 1.4矩阵分析 * 第一节线性变换及其矩阵表示 一、线性空间与线性变换 1、线性空间及其基组 空间：赋予了某种数学结构的非空集合，记为X。其中的“数学结构”可为定义了元素间的运算、距离。集合X＝{x|x满足的条件}。 封闭：X中任元素经某运算后的结果仍属于X，则称X对该运算封闭。（如：实数集R，任x1、 x2∈R，x1+x2∈R，称R对加法封闭。实际上R 对乘法也封闭。） 线性空间：即赋予了线性运算的非空集合。具体定义为： 设X是一个非空集合，K是数域（K为实数域R或复数域C），若定义X中二元素之间的加法运算以及数域K中的数与X中元素之间的数乘运算，并满足下列条件： 加法运算“+”满足：对任意x、y∈X，x+y∈X，且 (1)交换律：x+y=y+x； (2)结合律：对任意z∈X，(x+y)+z=x+(y+z)； (3)有零元：存在0∈X，使得对一切x∈X，有x+0=x（0称X的零元素）； (4)有负元：对任意 x∈X，存在y∈X，使x+y=0（y称为x的负元素）。 数乘运算“ ”满足：对任意α∈K， x∈X， αx∈X，且 (1)对任意的β∈K，α(βx)= (αβ)x； (2)1 x=x； (3)对任意的y ∈X，α(x+y)= αx+αy； (4)对任意的β∈K，(α+β)x ＝αx+βx 。 则称X为数域K上的线性空间。当K是实数域R时，X称实线性空间；当K是复数域C时，X称复线性空间。X上的加法运算和数乘运算统称为线性运算。 二、方阵的特征值与特征向量 三、相似矩阵及其性质 1.2方阵在相似变换下的标准形 1.2.1方阵的行列式因子、不变因子、初等因子 1.2.2方阵相似的条件 1.2.3方阵在相似变换下的若当标准形 1.2.4方阵在相似变换下的有理标准形 1.2.1方阵行列式因子、不变因子、初等因子 1.行列式因子 定义1.7 ?E-A中所有非零k级子行列式的首项(即最高次项)系数为1的最大公因式称为?E-A的k级行列式因子，记为 解： 考虑其3级子式 考虑其所有的3级子式(只有一个)： 1.7 求A的各级行列式因子 所以 考虑其所有的2级子式，因为有一个2级子式 所以 考虑其所有的1级子式，因为?E-A中的有元素-1,所以 2.不变因子 定理1.4 ?E-A总可以经初等变换化为 可以证明，?E-A在初等变换下秩与行列式因子不变， 由此得出不变因子与行列式因子间的关系： 计算方法 3.初等因子 计算方法 * * *