第二章-线性代数学习指导书.doc

第二章 线性方程组 一．主要内容 本章主要讨论向量组的线性性质，线性方程组的可解条件及其解法等内容． （一）、向量组的线性相关性 列向量（行向量）是一类特殊的矩阵，因而它的运算（如加法、数乘、转置等）和性质与矩阵的相应运算和性质一样．值得注意的是维列向量与维行向量才能做相乘运算，例如，令 (字母新罗马用斜体) 则 (字母新罗马用斜体) 这表明：维列向量与维行向量的积是阶方阵，维行向量与维列向量的积是一个数，这个数被定义为这两个向量的内积（参见第三章）． 为了研究一组同维数的列向量间的相互关系，引入了向量的线性表示和向量组的线性无关性以及向量组等价等概念．它们是研究线性方程组的基础． 假设有一组维列向量： (字母新罗马用斜体) 构造矩阵 . 则向量组线性相关的充要条件是. 因此，可用下面步骤判断向量组的线性相关性． 第一步：对矩阵施行初等行变换化为行阶梯形矩阵； 第二步：行阶梯形矩阵的非零行数即为矩阵的秩； 第三步：如果，则线性相关，否则线性无关. 在向量组线性相关的情况下，还应求出它的最大线性无关向量组与线性关系式．由于矩阵的初等行变换不改变矩阵列向量组的线性关系，因而，可利用矩阵的初等行变换求解．具体解法如下： 第一步：对矩阵 施行初等行变换化为行标准形； 第二步：求最大线性无关组．因为行标准形中首元1所在的列构成的向量组是矩阵的列向量组的一个极大线性无关组，所以，是的一个最大线性无关组． 第三步：求线性关系式．若行标准形中的列向量满足关系式， 则矩阵中的列向量也满足关系式 ． 因此，位于其它各列的向量由最大线性无关组线性表示的组合系数即为矩阵对应列的相应分量. （二）、线性方程组理论 线性方程组理论是一个应用很广的数学理论，它包含解的存在性、解的唯一性和求解等内容.设含有个方程个未知量的线性方程组为 （１） 其系数矩阵、未知向量、常向量和增广矩阵分别为 1．线性方程组解的存在性与唯一性 存在性：线性方程组（１）有解的充分必要条件是 唯一性：若则线性方程组（１）有唯一解；若则线性方程组（１）有无穷多解． 2．线性方程组的求解步骤 第一步： 写出线性方程组（1）的增广矩阵并利用矩阵的初等行变换将变为行标准形； 第二步：分别求出线性方程组（1）的系数矩阵与增广矩阵的秩和并运用解的存在性与唯一性定理进行判定．若有解时，继续求解．否则，停止求解； 第三步：若线性方程组（１）的解唯一，则根据的行标准形直接求解，完成计算． 若线性方程组（１）的解不唯一 ，则根据的行标准形求线性方程组（１）的一个特解．这时，首先确定自由变量．可令的行标准形中非零行的首元1所在的列对应的变量为约束变量，其个数为其它未知量为自由变量，其个数为然后将所有的自由变量赋值为零，求得特解． 第四步：求线性方程组（1）的导出组的基础解系．首先确定导出组的基础解系中所含向量的个数同时根据的行标准形确定自由变量；然后，分别取阶单位矩阵的列对自由变量分别赋值，并根据的行标准形求得导出组的基础解系. 第五步：用线性方程组（1）的特解与导出组的基础解系表示线性方程组（1）的解． 值得注意的是，对于一个数学问题（或实际问题），它的解的存在性、唯一性和求解等内容是研究的主要内容，这些内容、研究方法与数学思维便形成了一种研究模式． 二．基本要求与疑难解析 （一）基本要求 1.熟悉线性方程组的不同表达形式(方程组形式,矩阵形式,向量形式). 2.理解线性方程组的可解条件，熟练掌握求解线性方程组的消元法. 3.熟悉齐次线性方程组有非零解(只有零解)的充分必要条件，熟悉非齐次线性 方程组有解(无解),有唯一解,有无穷多解的充分必要条件. 4.理解n维向量、n维向量空间概念，熟悉n维向量的线性运算. 5.理解n维向量的线性组合与线性表示、向量组的线性相关与线性无关、两向量组的等价等概念及其相关定理，会利用矩阵的秩来判别向量组是否线性相关. 6.理解向量组的最大无关组及向量组的秩的概念及其相关定理，会求向量组的最大无关组与秩. 7.熟悉齐次线性方程组解的结构.熟练掌握齐次线性方程组的基础解系的求法. 8.熟悉非齐次线性方程组的解与其导出组的解之间的联系.熟练掌握非齐次线性方程组的结构式通解的求法. （二）疑难解析 1、用消元法求解线性方程组时，能对方程的系数矩阵或增广矩阵进行初等列变换吗？ 答：用高斯消元法求解线性方程组，是对线性方程组作三种初等变换：（1）某个方程乘非零常数k；（2）一个方程乘常数k加到另一方程；（3）对换两个方程的位置，将其化为同解的阶梯形方程组这一消元过程用矩阵来表示就是对方程组的增广矩阵施行三种初等行变换，化为阶梯形矩阵.因此，求解线性方程组时，一般不能对增广矩阵施行初等列变换，但可以对换矩阵的两列，此时相应地