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第三章 群论基础及在化学中应用 §3-1 行列式 一、行列式定义 一个行列式就是n2个元素的正方排列。行与列的数目相同。n是行列式的阶。 二、行列式的计算 (按行展开，i=1,2,…n) （按列展开，j=1,2,…n） 其中， ，代表 的代数余子式。如 的代数余子式为： 三、行列式的性质 1、若行列式的某一行或某一列的每元素都为零，则行列式的值为零。 2、将行列式的任意两行（或列）互相交换，等于将行列式的 值乘以-1。但是绝对值不变。 3、若行列式的两行（或列）相同，则行列式的值等于零。 4、将行列式的某行（或列）的所有元素乘以一个常数K， 等于将行列式乘以K。 5、若任何一行的所有元素是两个或是更多个数的和（或差）， 则此行列式可以写作两个或更多个具有相同阶数的行列式的 和（或差）。例如： 6、若行列式的所有行列交换但并不改变次序，则此行列式 的值不变。 7、将行列式的某行（或列）的所有元素乘以一个数后加于另 一行（或列）的对应元素，行列式的值不变。 四、行列式应用 利用n阶行列式求解含多个未知数的线性方程组。 § 3.2 矩阵 矩阵是群表示的数学基础，我们这里介绍中矩阵的有关基础知识。 一、矩阵的定义 把数字或符号排列为如下形式的表： 但在化学中使用的大多为方矩阵，即行数与列数相等的矩阵； 及行阵和列阵 （仅一行或是一列） 二、矩阵的迹定义 对于方阵，矩阵A的对角元素之和称为矩阵的迹 三、矩阵的代数运算规则 1、两个矩阵A和B相等：A=B， 即它们的元素对应相等。 2、两个同阶矩阵A和B可以相加成另一矩阵C：C=A+B （矩阵的加法服从交换律和结合律） 推论：常数λ乘以矩阵A得矩阵B，则 四、几种特殊矩阵的名词定义 1、零矩阵 2、行矩阵和列矩阵 3、对角矩阵 4、块因子矩阵（准对角矩阵） 5、纯量（常数）矩阵 6、单位矩阵 1、复数共轭矩阵 五、 派生矩阵 2、转置矩阵 3 、共轭矩阵 4、逆矩阵 5、厄米矩阵 6、么正矩阵（酉矩阵） 7、正交矩阵 8、实矩阵 9、对称矩阵 § 2.3群论的基本知识 一、群的数学定义 一个集合G（A，B，C，…），当在G中定义称为“乘法”的 运算时，如果满足下列四个条件，则称集合G为一个群。 1）封闭性 2）结合律 3）单位元素 4）逆元素 二、群的乘法表 由于群中任意两个元素的乘积仍是群中元素，因此，我们 可以将群元素的乘积排列成一个表，称为群的乘积表。 例：（H2O） 三、子群 如果群G中的一部分元素对于群G的乘法也构成群H， 则群H称作群G的子群。 有二个平凡子群（非真子群）： E（单位元素）和 G（G群本身），其它为真子群。 例：C2v群的C2群是子群。 四、共轭元素与类 1、共轭元素定义： 设A，B，X是一个群的任何三个元素，若满足 则称A，B相互共轭。 2、类的定义 一个群中相互共轭的元素的集合称为一个共轭类，简称类。 3、共轭元素的性质 （1）每个元素自身共轭。 （2）A与B共轭，则B与A共轭 （3）A与B共轭，A与C共轭，则B与C共轭。 （4）群中二个不同类没有共同元素 （5）单位元素自成一类 （6）对易群每个元素自成一类 对易群，AB=BA，则有： 。 （7）若两元素（对称操作）同类，则两对称元素可经 某一操作使之重合。 五、同构与同态 § 2.4 群的表示理论 群的表示就是对称操作群元素的用矩阵来描述。 一、群的矩阵描述 1、基的定义：常将群元素的作用对象称为基。 （对称操作元素的具体形式与基的选取相关） 例 1：以(x,y,z)为基， C2V 点群的四个对称操作的表示矩阵。 C2V的另几种矩阵表示 C3V的三种不可约矩阵表示