第三章第5节主成分分析培训资料.ppt

第5节 主成分分析 ;问题的提出;例，成绩数据;从本例可能提出的问题;例中的数据点是六维的；也就是说，每个观测值是6维空间中的一个点。我们希望把6维空间用低维空间表示。 先假定只有二维，即只有两个变量，它们由横坐标和纵坐标所代表；因此每个观测值都有相应于这两个坐标轴的两个坐标值；如果这些数据形成一个椭圆形状的点阵（这在变量的二维正态的假定下是可能的）。 那么这个椭圆有一个长轴和一个短轴。在短轴方向上，数据变化很少；在极端的情况，短轴如果退化成一点，那只有在长轴的方向才能够解释这些点的变化了；这样，由二维到一维的降维就自然完成了。;当坐标轴和椭圆的长短轴平行，那么代表长轴的变量就描述了数据的主要变化，而代表短轴的变量就描述了数据的次要变化。 但是，坐标轴通常并不和椭圆的长短轴平行。因此，需要寻找椭圆的长短轴，并进行变换，使得新变量和椭圆的长短轴平行。 如果长轴变量代表了数据包含的大部分信息，就用该变量代替原先的两个变量（舍去次要的一维），降维就完成了。 椭圆（球）的长短轴相差得越大，降维也越有道理。;;对于多维变量的情况和二维类似，也有高维的椭球，只不过无法直观地看见。 首先把高维椭球的主轴找出来，再用代表大多数数据信息的最长的几个轴作为新变量；这样，主成分分析就基本完成。 注意，和二维情况类似，高维椭球的主轴也是互相垂直的。这些互相正交的新变量是原先变量的线性组合，叫做主成分。;一、主成分分析方法的基本原理 ; 当p较大时，在p维空间中考察问题比较麻烦。为了克服这一困难，就需要进行降维处理，即用较少的几个综合指标代替原来较多的变量指标，而且使这些较少的综合指标既能尽量多地反映原来较多变量指标所反映的信息，同时它们之间又是彼此独立的。;主成分分析的几何意义 主成分分析的过程就是坐标系旋转的过程，各主成分就是新坐标与原坐标的转换关系，在新坐标系中，各坐标轴的方向就是原始数据变差最大的方向。;X2;Z1;主成分分析的实质就是要求出方差—协方差矩阵的特征向量及其对应的特征值，即要找出方差—协方差矩阵所确定的椭球的主轴，并确定其长度。 方差—协方差阵的特征向量表示主轴的方向，而其对应的特征值表示主轴的长度。;例如6个样方、2个种的多度数据是：;数据的中心化;;中心化后的原始数据矩阵;把坐标轴X1、X2刚性地旋转一个角度，得到图中虚线表示的新坐标轴Y1和Y2。;6个样方点在新坐标系中位置的数据为： 与中心化后的原始数据有如下关系： ;写成矩阵的形式有： U是坐标旋转的变换矩阵，它是正交矩阵，有UT=U-1，即UUT=I（I为单位矩阵） 希望Y1轴就是要找的直线：6个点在该线上垂足的离差平方和最大（即畸变最小）;∵ ∴;对刚性旋转后的新轴而言，坐标原点仍在形心（ ）。于是6个点在Y1轴上垂足的离差平方和就是它们在Y1轴上坐标之平方和 。;由 它的取值只依赖于坐标轴旋转角度一个变量，取极大值的必要条件是对θ的导数为0。即 =0 =0;上述条件等同于 因此，如果原坐标旋转后的Y1轴是我们要求的使Var(Y1)最大的直线的话，则必然有Var(Y2)最小，且 。这说明6个样方点对新坐标的离差矩阵应为 ;∴ 其中XXT是已中心化数据的离差矩阵S，它是对称的。又因U是正交矩阵UT=U-1，则上式可写为：USU-1=Λ;; 和 是对称离差矩阵S的两个特征根（ ），而U的每一行是相应的特征向量。;定义：记x1，x2，…，xP为原变量指标，z1，z2，…，zm（m≤p）为新变量指标;系数lij的确定原则 zi与zj（i≠j；i，j=1，2，…，m）相互无关。 z1是x1，x2，…，xP的一切线性组合中方差最大者，z2是与z1不相关的x1，x2，…，xP的所有线性组合中方差最大者；…… zm是与z1，z2，……，zm－1都不相关的x1，x2，…xP， 的所有线性组合中方差最大者。则新变量指标z1，z2，…，zm分别称为原变量指标x1，x2，…，xP的第一，第二，…，第m主成分。 ;二、主成分分析的解法;X1;1、方差—协方差的计算;2、主成分分析的实质;由教材中例： 方差—协方差矩阵为 求特征值 ;特征向量的求解 当 时, 化为联立方程 求得 同理求得 时的特征向量;算出 第一主成分I：特征值为37.9，特征向量为 第二主成分II：特征值为6.5，特征向量为;特征向量的方向由I、II中包括的两个数字控制。 矩阵的总方差为20.3+24.1=44.4，变量X1所占的比重为20.3/44.4，占总方差的4