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由此推出 的Jacobi行列式 这就证明了在(7.1.28)中的n个任意常数 是相互独立的。因此,式(7.1.28)是微分方程组(7.1.13) 的通解。 另外,由(7.1.26)对 求导易知 其中 我们仍需证明通解(7.1.28)表示了微分方程(7.1.13) 在区间G内的所有解。 为此取微分方程(7.1.13)在区间 G内的任一解 令初始条件 其中 。再令 然后利用隐函数定理,可以从方程 得到微分方程(7.1.13)的一个解 它满足初始条件 (7.1.31) (7.1.32) (7.1.33) 因此,式(7.1.32)和(7.1.33)是微分方程组(7.1.13) 满足同一初始条件的两个解。这样根据解的唯一性定理 推出 即解(7.1.31)可以从通解(7.1.28)得到。 反之作为定理7.1.3的逆命题,我们容易证明下述结论: 设已知微分方程(7.1.13)的通解,则由它可以得到n个 独立的首次积分。 因此,在局部范围内求微分方程(7.1.13)的解等于求它 的n个相互独立的首次积分。 关于首次积分的(局部)存在性,我们有 定理7.1.4 设 其中 的某个邻域 内。则由解对 7.1.3 首次积分的存在性 则存在 的一个 邻域 使得微分方程(7.1.13)在区域 内有 n个相互独立的首次积分。 证明 任取初始条件 (7.1.34) 初值的可微性定理推出,微分方程(7.1.13)满足初始 条件(7.1.34)的解 (7.1.35) 对 是连续可微的,而且Jacobi行列式 。 因此,由(7.1.35)可反解出 得到 其中函数 在 这样一来,我们就得到了微分方程(7.1.13)在区域 内的n个相互独立的首次积分(7.1.36)。 (7.1.36) 内是连续 可微的,而且Jacobi行列式 定理7.1.5 微分方程(7.1.13)最多只有n个相互独立的首 次积分。 证明 设微分方程(7.1.13)有n+1个首次积分 内我们有 (7.1.37) 则由首次积分的充要条件,在某个区域 我们可以将 看成是代数联立方程组(7.1.38) 在区域 内恒等于0.这就是说,任何n+1个首次积分 的一个非零解。从而(7.1.38)的系数行列式 (7.1.37)是函数相关的,亦即它们不是相互独立的。 (7.1.38) 证明 因为(7.1.26)中的首次积分是相互独立的,所以 于是可以从函数组 内它们的Jacobi行列式 其中 可以用(7.1.26)来表达,亦即 是某个连续可微的函数。 在区域 定理7.1.6 设(7.1.26)是微分方程(7.1.13)在区域G内的n个相互独立的首次积分,则在区域G内微分方程(7.1.13)的任何首次积分 (7.1.39) 反解出函数组 然后把它们代入 现在我们只需证明函数上述函数h与x无关。事实上,对 (7.1.41)求导,我们有 以及 因此由(7.1.42)可以得到 得到一个关于变元 的函数h,,即 其中函数V中的变元 由(7.1.40)式给出。 (7.1.40) (7.1.41) (7.1.42) 但是,由于 是微分方程(7.1.13)的n+1个 的Jacobi行列式恒等于0,从而 这就证明了函数h不依赖于x. 因此由(7.1.41)推出 即(7.1.39)式成立。 为了具体求出首次积分,也为了下一节的应用,人们常 把方程组(7.1.13)改写成对称的形式 , 首次积分,所以由定理7.1.5推出它们关于 这时自变量和未知函数的地位是完全平等的。更一般地, 人们常把上述对称式写成 内部不同时为零,例如
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