大学材料力学C08 组合变形27.ppt

8.4 扭转与弯曲 一般的传动轴通常发生扭转与弯曲组合变形。由于传动轴大都是圆截面的, 故以圆截面杆为例, 讨论杆件发生扭转与弯曲组合变形时的强度计算。 * F Me＝FR 设有一圆杆AB, 一端固定, 一端自由；在自由端B处安装有一圆轮, 并于轮缘处作用一集中力F。 将力F向B端面的形心平移, 得到一横向力F和矩为FR的力偶。横向力和力偶分别使圆杆AB发生平面弯曲和扭转。 F Me＝FR T FR 作出圆杆的扭矩图和弯矩图, 圆杆左端的弯矩最大, 所以此杆的危险截面位于固定端处。 M FL C1 C2 C3 C4 危险截面上的最大弯曲正应力s发生在铅垂直径的上、下两端点C1和C2处。 最大扭转切应力, 发生在截面周边上的各点处。 s s O C1 C2 C3 C4 t t t t 危险截面上的危险点为C1和C2点。 机械中的轴一般都用塑性材料制成, 因此应采用第三或第四强度理论。 C1 C2 C3 C4 s s O C1 C2 C3 C4 t t t t C1 t t s s 首先求主应力： 围绕C1点分别用横截面、径向纵截面和环向纵截面截取单元体，可得C1点处的应力状态如图所示。 C1 t t s s 用第三强度理论： 用第四强度理论： C1 C2 C3 C4 s s O C1 C2 C3 C4 t t t t C1 t t s s 以弯矩、扭矩和弯曲截面系数表示的强度条件为 用第三强度理论： 用第四强度理论： 上式同样适用于空心圆杆，而只需将式中的W改用空心圆截面的弯曲截面系数。 C1 t t s s C1 C2 C3 C4 s s O C1 C2 C3 C4 t t t t 此二式为基本公式，公式适用于平面应力状态，而不论正应力s是由弯曲或是由其他变形引起的，切应力t是由扭转或是由其他变形引起的，也不论正应力和切应力是正值或是负值。 船舶推进轴将同时发生扭转、弯曲和轴向压缩(或拉伸)，其危险点处的正应力s等于弯曲正应力与轴向压缩(或拉伸)正应力之和。 例8-4 匀速转动的传动轴如图所示。在A处作用一个外力偶矩m=1KN·m，皮带轮直径 D=300mm，N1=2 N2，L=200mm，轴的许用应力[?]=160MPa。试用第三强度理论设计轴的直径。 Z N1 N2 d x y A B C L/2 L/2 m 解：将力N1和N2向轴的形心简化 轴在AC段产生扭转和弯曲的组合变形。 m m P=3N2 m P=3N2 m 画内力图，中间左侧截面为危险截面 T=1KN·m Mmax=1KN·m + 1KN.m M图 + T=1KN.m T图 例题 8-5 图a所示钢制实心圆轴其两个齿轮上作用有切向力和径向力，齿轮C 的节圆（齿轮上传递切向力的点构成的圆）直径dC=400 mm,齿轮D的节圆直径dD=200 mm。已知许用应力 [s ]=100 MPa。试按第四强度理论求轴的直径。 解： 1. 作该传动轴的受力图（图b），并作弯矩图－Mz图和My图（图c, d）及扭矩图－－T 图（图e）。 2. 将同一截面上的弯矩Mz和My按矢量相加。 B截面上的弯矩MzB和MyB（图f）按矢量相加所得的总弯矩MB（图g）为： 由Mz图和My图可知，B截面上的总弯矩最大，并且由扭矩图可见B截面上的扭矩与CD段其它横截面上相同，TB＝-1000 N·m，于是判定横截面B为危险截面。 3. 根据MB和TB按第四强度理论建立的强度条件为 即 亦即 于是得 C D PL 2PL M: 3PL L P L L A B C D 2P PL M 课堂练习 图示刚架由AB和CBD两杆组成，两杆在水平面内且互相垂直，受力与刚架平面垂直，P=2kN, L=1m,各杆直径d=100mm, [σ] =70MPa, 按最大切应力强度理论校核强度。 安全 解: (DBC)段: (AB)段: L P L L A B C D 2P y z x P P C A B L L 解：AB杆为拉伸、两垂直平面内弯曲、扭转组合变形 拉伸： 斜弯： 例8-6 图示折杆CAB位于水平面内，AB段直径d=60mm, L=90mm,P=6kN, ,试用第三强度理论校核AB的强度。 扭转： 故： 代入数据： ，安全。 y z x P P C A B L L 练习题 直径为d的实心圆轴，若T=Pd，指出危险点的位置，并写出相当应力σr3 。 P x T P x T · B 解：偏心拉压与扭转的组合变形 危险点B: C D A k a P B a a 解: (1)k 点应力状态如图: 又 例8-11 图示水平直角折杆受竖直力P作用，轴直径 d=100mm，a=400mm，E=200GPa，