27.1__坐标系与坐标变换.doc

本资料来源于《七彩教育网》 27.1 坐标系与坐标变换 【知识网络】 1. 几种常用的坐标系：直角坐标系、极坐标系、球坐标系、柱坐标系及其相互转化. 2. 平面坐标系中几种常见变换：平移变换、伸缩变换. 【典型例题】 例1.（1）点的直角坐标是，则点的极坐标为 （C） A． B． C． D． 提示：都是点的极坐标. （2）在极坐标系中有下列各点：，, 其中.给出下列结论：①两点关于极轴所在的直线对称；②两点关于 过原点且垂直于极轴的直线对称；③两点重合；④两点关于极点对称；⑤两点重合.其 中正确的结论是 （A） A．①③④ B．①③⑤ C．③④⑤ D．①②③ 提示：在极坐标系中作出上述各点即可. （3）伸缩变换的坐标表达式为，曲线在此变换下变为椭圆，则曲线 的方程为 （A） A． B． C． D． 提示：直接将代入的方程. （4）已知空间点的球坐标为，则点的空间直角坐标为____________. 提示：设一点的球坐标为，直角坐标为， 则. （5）在极坐标系中，若点的坐标分别为，则_________， .（其中是极点） 提示：， ∴为直角三角形. 例2.设平面上伸缩变换的坐标表达式为，求圆在此伸缩变换下的方程， 并指出变换后的方程表示什么曲线. 解：由可得，代入圆的方程得，即， 它表示中心在原点、焦点在轴上的椭圆. 例3.证明：以为顶点的三角形是等腰三角形. 证明：. ∵不存在实数满足, ∴三点不共线,即可以构成三角形. 又因为, ∴是等腰三角形. 例4.在轴上求一点，使它到点与到点的距离相等. 解:设所求的点为,, , ∵, ∴, 解之得. ∴所求的点为. 【课内练习】 1.在极坐标系中，点和的位置关系是 （D） A. 表示同一点 B．关于极点对称 C．关于极轴对称 D．关于过极点且垂直于极轴的直线对称 2.空间一点的直角坐标为，则其在相应的柱坐标系中的坐标为 （B） 提示：设该点在相应的柱坐标系中的坐标为，则. 3. 点为极坐标系中的一点，给出如下各点的坐标：①；②； ③；④.其中可以作为点关于极点的对称点的坐标的是 （C） A.①② B．①③ C．②③ D．②④ 提示：在极坐标系中画出各点，或根据极坐标的意义. 4..平面直角坐标系中，点按向量平移至点，则点的坐标为（B） A. B． C． D． 提示：设点的坐标为，则 5. 点的直角坐标为,在的要求下,它的极坐标为 . 提示：点的直角坐标为， ∴， 6. 在直角坐标系中，点关于直线对称的点是 . 提示：设点关于直线对称的点为，则的中点为， 点在直线上，且直线与直线垂直. 7.双曲线的焦点坐标为 ；将此双曲线 按向量平移后，可化为标准方程，则 . ； 提示：将配方，得， 即. ∴双曲线的中心为，对称轴平行于坐标轴，又， ∴焦点坐标为. 设，则有. 8.求直线按向量平移后的方程. 解：设直线上任意一点的坐标为，平移后的直线上任意一点的坐标为， 则有， 即，代入直线的方程，得， 化简得. ∴直线平移后的方程为. 9.把圆沿轴方向均匀压缩为椭圆. ，写出坐标变换公式. 解： 设坐标变换公式为，由此得，将其代入圆的方程， 得，即.与椭圆方程比较， 得， ∴. ∴坐标变换公式为. 10.已知三角形的三个顶点的极坐标分别为，设为中 边上的高，求的面积和点的极坐标. 解：， ∴. 又为钝角， ∴点在的延长线上，且， ， ∴点的极坐标为. 作业本 1.在直角坐标系中，点的坐标为，则在相应的极坐标系中它的极坐标可以是（C） A. B． C．