北京理工大学08年研究生入学考试量子力学试题及答案(7).ppt

* 北京理工大学08年 一、（20分）一个质量为m 的粒子在一维无限深势阱 中运动，t=0 时刻的波函数为 。 问（1）在后来某一时刻 粒子的波函数是什么？（2）体系在 时的平均能量是多少？（3） 时刻在势阱的左半部 发现粒子的概率是多少？ 解： （1） 已经归一化。 （2） 一、（20分）一个质量为m 的粒子在一维无限深势阱 中运动，t=0 时刻的波函数为 。 问（1）在后来某一时刻 粒子的波函数是什么？（2）体系在 时的平均能量是多少？（3） 时刻在势阱的左半部 发现粒子的概率是多少？ （3） 二、（15分）对于 的共同本征态 ，计算 和 的平均值。 解： 利用升降算符 在教案第四章习题课题目3中，得到 于是有 三、（20分）自旋为0的两个全同粒子在谐振子势中运动， 设粒子之间有相互作用 ，试用微扰论求体系基 态能级的一级修正（已知数学积分公式， a0）。 解： 引入质心坐标 和相对坐标 ，则质心 质量 ，折合质量 。 同理 而 利用分离变量法可求得体系的波函数和能量本征值： 所以 基态波函数 ， ， ， 利用题给积分公式 四、（20分）一个沿x 轴作一维运动的自由电子，波函数满足长度L(L足够大)的周期性边界条件。（1）试写出体系的定态波函数和相应的能量本征值。（2）若再加上微扰 ， （N是一个大的整数， 为一个小常数），请计算波矢为 的电子的一级近似能量和微扰后的零级近似波函数。 解： （1） 设 ，利用箱归一化方法，得到满足边界条件 的自由电子波函数 此函数为自由粒子哈密顿的本征函数，本征值为 即 能量为二重简并。 （2）若再加上微扰 ， （N是一个大的整数， 为一个小常数），请计算波矢为 的电子的一级近似能量和微扰后的零级近似波函数。 （2） 加入微扰 ， （ ） 先确定波矢为 的波函数。 此时 ， ，对应的波函数为 能量一级修正满足的方程（久期方程） 所以 同理 久期方程化为 将 代入零级近似波函数的系数所满足的方程 归一化 此即对应能量 的零级近似波函数 同理可得对应能量 的零级近似波函数为 其中 五、（20分）设电子处于自旋态 ，求 的 可能测量值及相应的概率。 是 方向的单位矢量 解：北京理工05考题三 六、（20分）预先建立一个Stern-Gerlach实验，使得一个电子自旋z 分量为 。在t=0 时刻加入一个沿x 方向的均匀磁场 。问（1）经过时间T 后测自旋z 分量的结果是什么？（2）如果不是测z 分量，而是x 分量，则结果如何？ 解： 与北京理工06年六题类似 为电子自旋磁距 不考虑轨道运动。由薛定谔方程解出自旋波函数 令 定解问题： 考虑到初始条件 即 （1）经过时间T 后测自旋z 分量的结果是什么？ 的概率： 的概率： （2）测自旋x 分量的结果 的本征函数 ， 所以，在T 时刻，在态测自旋x分量 的概率： 的概率： 七、（20分）一个体系的哈密顿量 与时间无关，而 具有非简并本征值 的本征矢 ， 。设可观测量 在同一个希尔伯特空间中同样地由非简并本征值问题 来定义。设开始时体系处于状态 ，这时对此体系的可观测量 进行测量。问（1） 的期待值是多少？（2）这一测量给出 的值为 的几率多大？（3）如果测量给出值 ，并且在经过时间间隔t 以后再重复测量，再次测得 的几率是多少？ 解： （1） （2） ， ， （3） 如果测量给出值 ，说明体系处在态 ，此态 为 的本征态，而由题设知， ，故 为守恒量，经过时间间隔t 以后再重复测量，所以再次测得 的几率为1 。 八、（15分）一维势阱具有下列单粒子能量本征态： ，对应能级 。两个无相互作用