标准解读之数列与差分.ppt

数列与差分 1.引言 数列是描述客观世界的重要数学模型 差分是描述数列变化的主要工具 1.2.差分是描述数列变化的主要工具 差分与数列通项的关系1:对数列{an} = {2,2,2,2,2},其一阶差分Δan={0,0,0,0}.一般地,常数列的一阶差分为各项是零的常数列(注意:每施行一次差分运算,所得新数列的总项数都会减少1) 关系2:对数列{an} = {3n-5} = {-2,1,4,7,10,13,16,19},其一阶差分Δan= {3,3,3,3,3,3,3}为常数列,其通项an=3n-5是一个线性函数.一般地,当数列{an}是由一个线性函数定义的等差数列时,其一阶差分为常数列. 关系3:对数列{an} = {n2-3n+5} = {3,3,5,9,15,23},其一阶差分Δan= {0,2,4,6,8},其二阶差分Δ2an={2,2,2,2}为常数列,其通项an= n2-3n+5是一个二次函数.一般地,当数列{an}是由一个二次函数定义时,其二阶差分为常数列. 关系4:对数列{an} = {3n} = {3,9,27,81,243,729,2187},其一阶差分Δan={6,18,54,162,486,1458},二阶差分Δ2an= {12,36,108,324,972}都不是常数列,而都是公比为3的等比数列.一般地,当数列{an}是由一个指数函数定义时,其一阶、二阶差分都是以该指数函数的底数为公比的等比数列. 差分对数列的描述 ①一阶差分对数列增减的描述 ②一阶差分对数列极值的描述 ③二阶差分对数列图形凸凹的描述 例2.构造数列{n2-4n+3}前7个值a1~ a7的差分表,并据该表确定数列在何处增加、何处减少、何处达到相对极大或极小、图像上凸或下凸. 解:构造差分表如下.据差分表:因Δa10,知数列在n =1处为减;Δa2,Δa3,…,Δa60,数列在n =2,3,…,6处为增;Δa10,Δa20,故在n=2处达到相对极小;对这7项而言,数列无相对极大;因为二阶差分Δ2an0,故数列图像是下凸的. 2.差分方程有关的基本概念 3.差分方程(一阶)的解、通解与特解 差分方程的解是一个数列.当把它代入差分方程时,得到一个恒等式,它满足任何一个初始值. 差分方程的通解 差分方程的特解 迭代法 对差分方程(组)来说,迭代法是用于求特解的重要方法. 重点:对一阶齐次线性方程组,在给定初始值的条件下,可以利用某种迭代程序在计算机上方便地求得它的数值解序列,并根据数值解序列掌握解的变化趋势.此点在新课标该专题中作重点要求. 例3: 例4: 例5: 3.1.求一阶齐次差分方程xn+1=kxn(3)的通解 3.2.探索一阶非齐次差分方程xn+1=kxn+b通解的结构 3.3.求一阶非齐次差分方程(1)的通解 4.差分方程在数学建模中的一些应用 差分方程是描述客观事物的数量关系的一种重要的数学模型.在科学研究和生产实际中,经常碰到处理对象涉及的变量(如时间)是连续的,但是从建模的目的考虑,把连续变量离散化更为合适,将连续变量作离散化处理,从而将连续模型(微分方程)化为离散型(差分方程)问题. 在实际建立差分方程模型时,往往要将变化过程进行划分,划分成若干时段,根据要解决问题的目标,对每个时段引入相应的变量或向量,然后通过适当假设,根据事物系统的实际变化规律和数量相互关系,建立每两个相邻时段或几个相邻时段或者相隔某几个时段的量之间的变化规律和运算关系,从而建立起差分方程. 或者对事物系统进行划分,划分成若干子系统,在每个子系统中引入恰当的变量或向量,然后分析建立起子过程间的这种量的关系等式,从而建立起差分方程. 在这里,过程时段或子系统的划分方式是非常非常重要的,应当结合已有的信息和分析条件,从多种可选方式中挑选易于分析、针对性强的划分,同时,对划分后的时段或子过程,引入哪些变量或向量都是至关重要的,要仔细分析、选择,尽量扩大对过程或系统的数量感知范围,包括对已有的、已知的若干量进行结合运算、取最运算等处理方式,目的是建立起简洁、深刻、易于求解分析的差分方程. 在下面所举的实际例子中,这方面的内容应当重点体会. 4.1.金融问题的差分方程模型 1.设现有一笔p万元的商业贷款,如果贷款期是n年,年利率是r1,今采用月还款的方式逐月偿还,建立数学模型计算每月的还款数是多少? 模型分析: 在整个还款过程中,每月还款数是固定的,而待还款数是变化的,找出这个变量的变化规律是解决问题的关键. 模型假设: 模型建立: 模型求解: 模型的进一步拓广分析: 2.养老保险模型问题:养老保险是保险中的一种重要险种,保险公司将提供不同的保险方案以供选择,分析保险品种的实际投资价值.即分析如果已知所交保费和保险收入,按