《线性代数》学习指导 第四章 线性空间(24P).docVIP

第五章 线性空间 一、内容提要 ⒈ 线性空间 定义1 设V是一个非空集合,P是一个数域. 若在V中定义的加法和数乘运算对集合V封闭, 且加法与数乘运算满足线性运算的八条运算规则, 则称集合V为数域P上的线性空间. 线性空间又称为向量空间, 线性空间的元素亦称为向量. 设V是数域P上的线性空间, W是V的非空子集, 若W对于V的加法和数乘运算也构成数域P上的线性空间, 则称W为线性空间V的一个线性子空间, 简称子空间. ⒉ 基、维数和坐标 定义2 若线性空间V中有n个线性无关向量,而没有更多数目的线性无关的向量,则称V是n维线性空间,称V中n个线性无关的向量为V的一组基,n称为V的维数,记作dim V = n ． 注 向量组是V的一组基是V中的n个线性无关向量且V中的任一向量可由线性表示. 向量组生成的空间L()的一组基就是的一个极大无关组, 其维数就是向量组的秩. 定义3 设是n维线性空间V的一组基, 为V中的任一向量, 若 则称数 为向量 在基下的坐标, 记作 . 向量的坐标可写成行的形式也可写成列的形式,但在利用坐标进行运算时,则要以运算式的具体情况来确定坐标的形式. 定义4 设和是n维线性空间V的两组基, 且 （）=（）C (1) 称C为由基到基的过渡矩阵,（1）式称为由基到基的基变换公式． 定理1 设和是n维线性空间V的两组基, 由基到基的过渡矩阵为C = ,即 （）=（）C 若向量 在这两组基下的坐标分别为 与 , 则 ⒊ 线性空间同构 定义5 设V与W都是数域P上的线性空间,如果由V到W有一个双射（一一对应）, 且具有如下性质： 则称线性空间V与W同构,并称为由V到W的同构映射. 注 数域P上任意两个有限维线性空间同构的充要条件是它们的维数相同. 定理2 设线性空间V与W同构,是由线性空间V到W的同构映射, 则V中向量线性相关的充要条件是它们的像线性相关. ⒋ 向量的内积、长度、距离、夹角 定义6 设V是实数域R上的线性空间, 如果在V上定义了一个二元实函数, 称为内积, 记作, 且它具有以下性质: 是V中任意向量,k是任意实数 时,（,）= 0 这个定义了内积的线性空间V称为欧几里得空间,简称欧氏空间. 当的向量为列向量时,上述内积可记为乘积形式 . 当的向量为行向量时,上述内积可记为乘积形式 . 即. 向量 是单位向量, 将非零向量化为单位向量称为将向量单位化． 称为向量 与的距离,记作, 即=. 柯西-布捏柯夫斯基不等式: , 当且仅当 与 线性相关时, 等号成立. 定义7 设, 为欧氏空间V中的非零向量, 定义 , 的夹角为 （ 0 ≤ ≤ ） 若= 0, 则称与正交（或垂直）, 记作 ． 5.向量组的正交化 一组两两正交的非零向量组称为正交向量组. 正交向量组一定线性无关. 定义8 设是n维线性空间V的一组基, 若两两正交且都为单位向量, 则称它为V的一个标准正交基. 向量组是n维欧氏空间V中的一组标准正交基的充要条件是 . 任何一组线性无关的向量组都可用Schmidt(施密特)正交化方法化为正交向量组, 且与等价. 取 , , （i = 3 , 4 , …, m） 将向量组 , ,… , 中的每个向量单位化, 令 （i = 1 , 2 , … , m） 则得到一个与原向量组等价的标准正交向量组,,… ,. 6. 正交矩阵 定义9 设Q为n阶实矩阵, 若Q = E , 则称Q为正交矩阵. 正交矩阵的性质： （1）若Q 为正交阵，则 = 1 或－1 ； （2）若Q 为正交阵，则Q可逆，且 = ； （3）若P，Q都是n阶正交矩阵，则P Q也是n阶正交矩阵； （4）n阶实矩阵Q为正交矩阵的充要条件是Q的列（行）向量组是的标准正交基. 二、重点难点 1. 判定集合是否构成线性空间. 2. 线性空间的基、维数, 向量在基下的坐标等概念以及过渡矩阵、基变换与坐标变换公式. 3. 欧式空间以及内积的概念和运算性质, 用内积运算进行证明. 4. 用施密特正交化方法将线性无关的向量组正交化. 5. 正交矩阵的概念及其性质. 三、 学习要求 1. 了解线性空间、子空间的概念, 理解向量空间的基和维数, 会求向量关于基的坐标,熟悉坐标变换公式. 2. 了解线性空间同构的概念. 3. 了解向量的内积、长度、距离、夹角、正交等概念, 掌握内积运算的性质. 4. 理解标准正交基的概念, 掌握线性无关向量组正交规范化的施密特Schmidt)方法掌握维实向量集合, 对于通常的向量加法和如下定义的数乘运算 是否构