华师一附中高一下学期课外综合训练题五数列答案.doc

高一课外综合训练题（五） 1. 求数列1·n, 2(n-1), 3(n-2)，…，n·1的和. 解：令ak=k·[n-(k-1)]=k·n-k2+k=(k+1)·n-k2, ∴a1+a2+…+an=n(2+3+…n+1) -(12+22+…n2)=. 2．已知等差数列｛an｝，公差大于0，且a2、a5是方程x2—12x+27=0的两个根，数列｛bn｝的前n 项和为Tn，且Tn=1—． （1）求数列｛an｝、｛bn｝的通项公式；（2）记cn= an·bn，求证：． （1）设的公差为由题意得： 即： 解得：。由得：两式相减：，所以是以为公比为首项的等比数列．在中令得： 所以所以（2），，∴。 3．已知数列的前项和满足．写出数列的前三项；求证数列为等比数列，并求出的通项公式． （1）在中分别令 得：解得：（2）由得：两式相减得：，即， ∴， ，故数列是以为首项，公比为2的等比数列．所以 。 4．已知等比数列的前项和为，且。 （1）求、的值及数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和。 解：（1）时，。而为等比数列，得， 又，得，从而。又。 （2）， ① ② ①-②得，∴。 5．设正项等比数列的首项，前n项和为Sn，且 （Ⅰ）求的通项； （Ⅱ）求的前n项和Tn. 解：（Ⅰ）由 得 即 可得∵，∴解得， ∴ （Ⅱ）∵是首项、公比的等比数列，故则数列的前n项和 前两式相减， 得 ， 即 6．数列中，且满足，（） ⑴ 求数列的通项公式； ⑵ 设，求； ⑶ 设=，是否存在最大的整数，使得对任意，均有成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由。 解：（1）由题意，，为等差数列，设公差为，由题意得，. （2）若， 时，。 故。 （3）， 若对任意成立，即对任意成立，的最小值是，的最大整数值是7。即存在最大整数使对任意，均有 7．设，其中,求数列的通项公式. 解：（1）。 。 ∴是首项为，公比为的等比数列. 。 8．设数列前n项和为Sn，且。其中m为常数，m≠-3，且m≠0。 （1）求证：是等比数列； （2）若数列是公比满足且，求证：为等差数列，并求。 解：由，得，两式相减， 得，∵m是常数，且m≠-3，m≠0，故为不为0的常数，∴是等比数列； （2）由且n≥2，， 得。∴是以1为首项，为公差的等差数列， ∴，故有。 9．已知点 ，且点P1的坐标为（1，－1）,求过点P1、P2的直线l的方程；又已知点Pn（n∈N*）在P1、P2两点确定的直线l上，求数列,的通项公式. 解：（Ⅰ）∵ ∴。∴过P1，P2的直线l的方程为 （Ⅱ）∵ 由 ∴是公差为2的等差数列，∴∴ ∴∴ 10．已知前n项和的公式Sn（n∈N）对所有大于1的自然数n都有，求数列{an}的通项公式；又若求. 解：（Ⅰ）由 得：，∴数列为等差数列，，∴Sn=2n2。∴，而，∴数列的通项公式为 。 （Ⅱ）， ∴。 11．已知数列满足，（n∈N*）。 （1）证明：数列是等比数列；（2）求数列的通项公式； （3）若数列满足，证明是等差数列。 解：（1）∵，即， ∵是以为首项，2为公比的等比数列。 （2）由（1）可知，∴. （3）， ，即 ① ∴ , ② ②-①得，即 ③ ∴, ④ ④-③得，即， ∴，即数列是等差数列。 12．已知函数且关于x的不等式的解集是。 （I）求的解析式； （II）设数列N*)，令求证： 解：（Ⅰ）由，即 ∵此不等式的解集是是关于x的方程的两根， ∴， ∴。 （Ⅱ）由题设，又，∴数列是首项为1，公差为1的等差数列，∴即。从而。 ∴ 又，故原不等式成立。