免费高中理科数学解题方法27.3（立体几何3）.doc

2013高三专题复习四 立体几何 一．专题综述： 立体几何的主要任务是培养学生的空间想像能力，当然推理中兼顾逻辑思维能力的培养，几何是研究位置关系与数量关系的学科，而位置关系与数量关系可以相互转化，解决立体几何的基本方法是将空间问题转化为平面的问题，即空间问题平面化，平面化的手法有：平移（包括线、面、体的平移）、投影、展开、旋转等变换。 1.考纲要求 （1）掌握平面的基本性质。会用斜二测的画法画水平放置的平面图形的直观图：能够画出空间两条直线、直线和平面的各种位置关系的图形，能够根据图形想像它们的位置关系。 （2）掌握直线和平面平行的判定定理和性质定理：理解直线和平面垂直的概念，掌握直线和平面垂直的判定定理：掌握三垂线定理及其逆定理。 （3）理解空间向量的概念，掌握空间向量的加法、减法和数乘。 （4）了解空间向量的基本定理；理解空间向量坐标的概念，掌握空间向量的坐标运算。 （5）掌握空间向量的数量积的定义及其性质：掌握用直角坐标计算空间向量数量积的公式；掌握空间两点间距离公式。 （6）理解直线的方向向量、平面的法向量、向量在平面内的射影等概念。 （7）掌握直线和直线、直线和平面、平面和平面所成的角、距离的概念，对于异面直线的距离，只要求会计算已给出公垂线或在坐标表示下的距离掌握直线和平面垂直的性质定理掌握两个平面平行、垂直的判定定理和性质定量。 （8）了解多面、凸多面体的概念，了解正多面体的概念。 （9）了解棱柱的概念，掌握棱柱的性质，会画直棱柱的直观图。 （10）了解棱锥的概念，掌握正棱锥的性质，会画正棱锥的直观图。 （11）了解球的概念，掌握球的性质，掌握球的表面积、体积公式。 2.考题设置与分值 从近几年各地高考试题分析，立体几何题型一般是1至3个填空或选择题，1个解答题，分值25分左右 3.考试重点与难度 （1）空间基本的线、面位置关系。一般以客观题的形式出现，试题很基础，但需要全面、准确掌握空间线、面位置关系的判断、性质，还需要有好的空间感。 （2）空间距离和角的计算。一般以主观题的形式出现，以棱柱、棱锥或其部分图为试题背景，其解题方法一般都在二种以上，并且一般都能用空间向量求解（但不一定是最简单的解法）。立体几何的解答题一般设置在解答题的前三题之一，所以试题不很难，属中档题。 （3）球的有关问题，特别是球面距离的计算，也是高考的重点考察内容。 （4）平面图形的翻折与空间图形的铺展能很好的考察学生的空间想象能力，这往往作为立体几何试题的背景。 总之，立体几何试题难度不大，是我们必须抓好的得分点。 二．考点选讲 【考点1】空间基本的线、面位置关系的判断 【例题1】设a、b是异面直线，给出以下五个命题： ①存在唯一平面，使a、b与α距离相等； ②空间存在直线c，使c上任一点到a、b的距离相等； ③夹在异面直线a、b间的三条异面直线段的中点不能共线； ④过空间任一点M，可作直线l与a、b均相交； ⑤经过直线a有且仅有一个平面垂直于b。 正确的命题的个数是（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 【解析】C ①存在过a、b公垂线段的中垂面只有1个； ②存在中垂面内与a和b所成角相等的直线c； ③正四面体ABCD中，E、F为AB、CD中点，到BC、EF、AD三异面直线中点共线； ④M与a确定平面与b平行时，不存在l； ⑤反证法若 ，则b不一定成立。 【注】像这种题能全面考察学生对立体几何的基础知识的掌握情况，是一种较理想的考题，要引起重视。 【练习1】一个透明密闭的正方体体容器中，恰好盛有容器一半容积的水，任意转动这个正方体，则水面在容器中的形状不可能是 A．菱形 B．矩形 C．正六边形 D．三角形 【提示】本小题转化为立体问题就是：用一个平面将正方体截为体积相等的两部分，创截面是什么图形？ 【考点2】角与距离的计算 【例题2】如图棱长均为2的正四棱锥的侧面展开图，E是PA中点，则在正四棱锥中PB与CE所成角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 【解析】在正四棱锥中，连接AB，CD，相交于O，连EO，则EO∥PB，∠CEO为异面直线PB与CE所成的角，OE＝1，OC＝，CE=，故cos∠CEO= 选B 【注】角与距离的计算是立体几何的重要考点，不仅可能出现在客观题中，在主观题中是一定要考的，我们要把用传统方法和向量方法求角与距离的的步骤及相应的公式牢牢掌握。 【练习1】将正方形沿对角线BD折成二面角A—BD—C，若正方形的边长为1，点A到平面BCD的距离为，则直线AB与CD所成角的余弦值为( ) A． B． C． D． 【练习2】若三棱锥A—BCD的侧面ABC内一动点