高中数学第一章161垂直关系的判定目标导学北师大版必修.doc

6.1　垂直关系的判定 学习目标 重点难点 1．通过实例，掌握直线和直线垂直、直线和平面垂直、平面和平面垂直的定义． 2．掌握直线与平面垂直、平面与平面垂直的判定定理，并会利用定理证明垂直关系． 3．正确理解和掌握“二面角”、“二面角的平面角”及“直二面角”的概念，会求简单的二面角的平面角． 重点：直线与平面垂直、平面与平面垂直的定义、判定定理及推论． 难点：直线与平面垂直，平面与平面垂直的判定定理在证明题中的应用． 疑点：二面角的平面角的作法. 1．直线与平面垂直 (1)直线与平面垂直的定义 如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直，那么称这条直线和这个平面垂直． (2)直线和平面垂直的判定定理 ①文字叙述：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直． ②符号表示：若aα，bα，a∩b＝A，l⊥a，l⊥b，则l⊥α. ③图形表示： ④作用：线线垂直线面垂直． 能够证明直线l与平面α垂直的条件是(　　)． ①l与α内两条平行直线垂直；②l与α内两条相交直线垂直；③l与α内无数条直线垂直；④l与α内任意两条直线垂直；⑤l∥m，m⊥α；⑥直线m，n确定平面α，l⊥m，l⊥n. A．①②④ B．①③⑥ C．②④⑤ D．③④⑥ 提示：C 2．二面角及其平面角 (1)半平面的定义：一个平面内的一条直线把这个平面分成两部分，其中的每一部分都叫作半平面． (2)二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形，叫作二面角，这条直线叫作二面角的棱，这两个半平面叫作二面角的面． (3)二面角的记法： 以直线AB为棱，半平面α，β为面的二面角，记作二面角α-AB-β. (4)二面角的平面角： 以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫作二面角的平面角． (5)直二面角：平面角是直角的二面角叫作直二面角． 以下命题正确的个数是(　　)． ①一个二面角的平面角只有一个； ②二面角的棱必垂直于这个二面角的平面角所在的平面； ③分别在二面角的两个半平面内，且垂直于棱的直线所成的角等于二面角的大小． A．0　　　　B．1　　　　C．2　　　　D．3 提示：B 3．平面与平面垂直的判定 (1)两个平面互相垂直的定义：两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直． (2)平面和平面垂直的判定定理 ①文字叙述：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直． ②符号表示： α⊥β. ③图形表示： ④作用：线面垂直面面垂直． 如何理解平面和平面垂直的判定定理？ 提示：(1)本质：证面面垂直证线面垂直． (2)关键：寻找其中一个平面的垂线． (3)找平面垂线的方法：先从现有的直线中寻找平面的垂线，若不存在则可通过作辅助线来解决，而作辅助线则应有理论依据，并有助于证明，不能随意添加． 1．线面垂直的判定 如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，D是AC的中点，S是△ABC所在平面外一点，且SA＝SB＝SC. (1)求证：SD⊥平面ABC； (2)若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC. 思路分析：题设条件中的三棱锥的三条侧棱相等，AB⊥BC，D是AC的中点，要证(1)需在平面ABC内找两条相交直线与SD垂直，故等腰三角形底边的中线是可以利用的垂直关系，要证(2)，需设法在平面SAC内找两条相交直线与BD垂直，而(1)的结论可利用． 证明：(1)因为SA＝SC，D是AC的中点， 所以SD⊥AC.在Rt△ABC中，AD＝BD， 由已知SA＝SB，所以△ADS≌△BDS， 所以SD⊥BD. 又AC∩BD＝D，所以SD⊥平面ABC. (2)因为AB＝BC，D为AC的中点， 所以BD⊥AC.由(1)知SD⊥BD， 因为SD∩AC＝D，所以BD⊥平面SAC. 1．已知四棱锥P-ABCD的底面是菱形，且∠ABC＝60°，PA＝PC＝2，PB＝PD.若O是AC与BD的交点，求证：PO⊥平面ABCD. 证明：∵PA＝PC，PD＝PB，且O是AC和BD的中点，∴PO⊥AC，PO⊥BD.又AC∩BD＝O，∴PO⊥平面ABCD. 2．如图，AB是圆O的直径，C是圆周上异于A，B的任意一点，PA⊥平面ABC. (1)图中共有多少个直角三角形？ (2)若AH⊥PC，且AH与PC交于H，求证：AH⊥平面PBC. (1)解：由PA⊥平面ABC，可得PA⊥AC，PA⊥AB，PA⊥BC，又由题设知BC⊥AC.由BC⊥AC，BC⊥PA，PA∩AC＝A得BC⊥平面PAC，∵PC平面PAC，∴BC⊥PC. 故图中有4个直角三角形：△PAC，△PAB，△ABC，△PCB. (2)证明：由(1)知BC⊥平面PAC，AH平面PAC， ∴BC⊥AH. 又AH⊥PC，BC∩PC＝C，∴AH⊥平面P