2011年高考数学经典例题详解：交集和并集.doc

2011年高考数学百大经典例题详解：交集和并集 1 已知M＝{y|y＝x2＋1，x∈R}，N＝{y|y＝－x2＋1，x∈R}则M∩N是 [ ] A．{0，1} 　　　　　　　　　　　　　　　　B{(0，1)} C．{1} 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　D 分析 先考虑相关函数的值域． 解 ∵M＝{y|y≥1}，N＝{y|y≤1}， ∴在数轴上易得M∩N＝{1}．选C． 取值范围是 [ ] A．m＜4 　　　　　　　　　　　　　　　　　Bm＞4 C．0＜m＜4 　　　　　　　　　　　　　　D0≤m＜4 可得0≤m＜4． 答 选D． 例3 设集合A＝{x|－5≤x＜1}，B＝{x|x≤2}，则A∪B＝ [ ] A．{x|－5≤x＜1} 　　　　　　　　　B{x|－5≤x≤2} C．{x|x＜1} 　　　　　　　　　　　　　　D{x|x≤2} 分析 画数轴表示 B)． 答 选D． 说明：集合运算借助数轴是常用技巧． 例4 集合A＝{(x，y)|x＋y＝0}，B＝{(x，y)|x－y＝2}，则A∩B＝________． 分析 A∩B即为两条直线x＋y＝0与x－y＝2的交点集合． 所以A∩B＝{(1，－1)}． 说明：做题之前要搞清楚集合的元素是什么． ∪B)； 为 [ ] A．1 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　B2 C．3 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　D4 分析 根据交集、并集的定义，①是错误的推理． 答 选C． 例6 已知全集U＝R，A＝{x|－4≤x＜2}，B＝{x|－1＜x ＝________． 号的值． 解 观察数轴得，A∩B＝{x|－1＜x＜2}，A∩B∩(UP)＝{x|0＜x＜2}． 例7 设A＝{x∈R|f(x)＝0}， B＝{x∈R|g(x)＝0}， [ ] A．C＝A∪(UR) 　　　　　　　　　　BC＝A∩(UB) C．C＝A∪B 　　　　　　　　　　　　　DC＝(UA)∩B 分析 依据分式的意义及交集、补集的概念逐步化归 ＝{x∈R|f(x)＝0且g(x)≠0} ＝{x∈R|f(x)＝0}∩{x∈R|g(x)≠0}＝A∩(UB)． 答 选B． 说明：本题把分式的意义与集合相结合． 例8 集合A含有10个元素，集合B含有8个元素，集合A∩B含有3个元素，则集合A∪B有________个元素． 分析 一种方法，由集合A∩B含有3个元素知，A，B仅有3个元素相同，根据集合元素的互异性，集合A∪B的元素个数为10＋8－3＝15． 另一种方法，画图1－10观察可得． 答 填15． 例9 已知全集U＝{x|x取不大于30的质数}，A，B是U的两个子集，且A∩(UB)＝{5，13，23}，(UA)∩B＝{11，19，29}，(UA)∩(UB)＝{3，7}求A，B． 分析 由于涉及的集合个数，信息较多，所以可以通过画图1－11直观地求解． 解 ∵U＝{2，3，5，7，11，13，17，19，23，29} 用图形表示出A∩(UB)，(UA)∩B及(UA)∩(UB)得 U(A∪B)＝{3，7}，A∩B＝{2，17}，所以 A＝{2，5，13，17，23}， B＝{2，11，17，19，29}． 说明：对于比较复杂的集合运算，可借助图形． 例10 设集合A＝{x2，2x－1，－4}，B＝{x－5，1－x，9}，若A∩B＝{9}，求A∪B． 分析 欲求A∪B，需根据A∩B＝{9}列出关于x的方程，求出x，从而确定A、B，但若将A、B中元素为9的情况一起考虑，头绪太多了，因此，宜先考虑集合A，再将所得值代入检验． 解 由9∈A可得x2＝9或2x－1＝9，解得x＝±3或5． 当x＝3时，A＝{9，5，－4}，B＝{－2，－2，9}，B中元素违反互异性，故x＝3应舍去； 当x＝－3时，A＝{9，－7，－4}，B＝{－8，4，9}，A∩B＝{9}满足题意，此时A∪B＝{－7，－4，－8，4，9} 当x＝5时，A＝{25，9，－4}，B＝{0，－4，9}，此时A∩B＝{－4，9}，这与A∩B＝{9}矛盾． 故x＝5应舍去． 从而可得x＝－3，且A∪B＝{－8，－4，4，－7，9}． 说明：本题解法中体现了分类讨论思想，这在高中数学中是非常重要的． 例11 设A＝{x|x2＋4x＝0}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0}，若A∩B＝B，求a的值． 需要对A的子集进行分类讨论． 设0∈B，则a2－1＝0，a＝±1，当a＝－1时，B＝{0}符合题意；当a＝1时，B＝{0，－4}也符合题意． 设－4∈B，则a＝1或a＝7，当a＝7时，B＝{－4，－12}不符合题意． ＜－1． 综上所述，a的取值范围是a≤－1或a＝1． 例12 (1