全等三角形中做辅助线的技巧1.doc

全等三角形中做辅助线的技巧 口诀： 三角形图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。线段垂直平分线，常向两端把线连。线段倍半，延长缩短可试验。 线段和差不等式三角形中两中点，连接则成中位线。 三角形中有中线，延长中线等中线。 由想到的辅助线 图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。a、对称性；b、角平分线上的点到角两边的距离相等。对于有角平分线的辅助线的作法，一般有两种。 ①从角平分线上一点向两边作垂线； ②利用角平分线，构造对称图形。 通常情况下，出现了直角或是垂直等条件时，一般考虑作垂线；其它情况下考虑构造对称图形。至于选取哪种方法，要结合题目图形和已知条件。与角有关的辅助线 （一）、截取构全等 如图1-1，∠AOC=∠BOC，如取OE=OF，并连接DE、DF，则有△OED≌△OFD，从而为我们证明线段、角相等创造了条件。 如图1-2，AB//CD，BE平分∠BCD，CE平分∠BCD，点E在AD上，求证：BC=AB+CD。 此题中就涉及到角平分线，可以利用角平分线来构造全等三角形，即利用解平分线来构造轴对称图形，同时此题也是证明线段的和差倍分问题，在证明线段的和差倍分问题中常用到的方法是延长法或截取法来证明，延长短的线段或在长的线段长截取一部分使之等于短的线段。但无论延长还是截取都要证明线段的相等，延长要证明延长后的线段与某条线段相等，截取要证明截取后剩下的线段与某条线段相等，进而达到所证明的目的。 简证：在此题中可在长线段BC上截取BF=AB，再证明CF=CD，从而达到证明的目的。这里面用到了角平分线来构造全等三角形。另外一个全等自已证明。此题的证明也可以延长BE与CD的延长线交于一点来证明。自已试一试。 在BC上取BF=BA，连接EF，易证明ABE≌△FBE﹙SAS﹚，AB=FB，AEB=∠FEB，又：ABCD，易求：BEC=90°，BEF ＋FEC =90°∴∠AEB ＋DEC=90°﹙平角定义﹚，FEC=∠DEC，而FCE=∠DCE，EC=EC，FEC≌△DEC﹙ASA﹚，FC=DC，BC=AB＋DC。分析：此题还是利用角平分线来构造全等三角形。构造的方法还是截取线段相等。其它问题自已证明。 解：过D点做AB的垂线DE，使E点在AB上 DA=DB ∴∠DAB=∠DBA ∵DE⊥AB ∴E点为AB中点 （等腰三角形中线跟高线是一条线，你们应该学过吧？） 又 AB=2AC ∴AE=EB=AC ∵∠BAD=∠CAD，AD=AD CAD全等于EAD （边角边，应该学过吧？） DEA=∠DCA=90° ∴DC⊥AC 如图，ABCD，BE、CE分别是ABC、BCD的平分线，点E在AD上，BE的延长线交CD的延长线于F．求证：（1）AE=ED；（2）BC=AB+CD．1）先证明FCE≌△BCE，再证明AEB≌△DEF即可得出AE=ED；（2）根据AEB≌△DEF，得出AB=FD，根据FCE≌△BCE可得出BC=FC，从而可证明BC=AB+CD． 解答：证明：（1）CE是BCD的平分线，BCE=∠FCE，AB∥CD，F=∠FBA，BE是ABC的平分线，ABF=∠FBC，FBC=∠F，又CE=CE， FCE≌△BCE，EF=BE，BC=FC，又DEF=∠AEB，EF=BE，F=∠FBA，AEB≌△DEF，AE=ED；（2）AEB≌△DEF，AB=FD，FC=AB+CD，BC=FC，BC=AB+CD． 分析：此题的条件中还有角的平分线，在证明中还要用到构造全等三角形，此题还是证明线段的和差倍分问题。用到的是截取法来证明的，在长的线段上截取短的线段，来证明。试试看可否把短的延长来证明呢？ 解：AC=AB+BD，在AC上截取AE=AB，连接DE，AD平分BAE，1=∠2．又AD=AD，ABD≌△AED，BD=DE，B=∠AED，B=2∠C，AED=2∠C=∠EDC+∠C，EDC=∠C，ED=EC，EC=BD，AC=AE+EC=AB+BD 练习 已知在△ABC中，AD平分∠BAC，∠B=2∠C，求证：AB+BD=AC 已知：在△ABC中，∠CAB=2∠B，AE平分∠CAB交BC于E，AB=2AC，求证：∠C=90° AE=2CE 设AB中点为F,连接AF 所以BF=AF=1/2AB=AC 因为BF=CF 所以B=∠FCB 又因为 B+∠FCB=∠CFA=2∠B=∠BAC 所以CF