1.3.3　正方形性质与判定的灵活运用.ppt

* 1.3 正方形的性质与判定 第3课时 　正方形性质与判定的灵活运用 第一章 特殊平行四边形 1 2 3 4 1．如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E，F分别在OD，OC上，且DE＝CF，连接DF，AE，并延长AE交DF 于点M.求证：AM⊥DF. 1 类型 利用正方形的性质证明线段位置关系 ∵AC，BD是正方形ABCD的两条对角线， ∴AC⊥BD，OA＝OD＝OC＝OB.∵DE＝CF， ∴OE＝OF.在△AOE与△DOF中， OA＝OD， ∠AOE＝∠DOF＝90°， OE＝OF， ∴△AOE≌△DOF. 证明： ∴∠OAE＝∠ODF. ∵∠DOF＝90°， ∴∠DFO＋∠FDO＝90°. ∴∠DFO＋∠FAE＝90°. ∴∠AMF＝90°，即AM⊥DF. 返回 2．(中考·杭州)如图，在正方形ABCD中，点G在对角线BD上(不与点B，D重合)，GE⊥DC于点E，GF⊥BC于点F，连接AG. (1)写出线段AG，GE，GF长度之间 的等量关系，并说明理由； 2 类型 利用正方形的性质求线段的大小关系 AG2＝GE2＋GF2.理由如下： 如图，连接GC，由正方形的性质知AD＝CD， ∠ADG＝∠CDG.在△ADG和△CDG中， AD＝CD， ∠ADG＝∠CDG， GD＝GD， 所以△ADG≌△CDG. 所以AG＝CG. 由题意知∠GEC＝∠GFC＝∠DCB＝90°. 所以四边形GFCE为矩形， CG2＝CF2＋GF2.所以GE＝FC. 又因为AG＝CG， 所以AG2＝GE2＋GF2. 2．(中考·杭州)如图，在正方形ABCD中，点G在对角线BD上(不与点B，D重合)，GE⊥DC于点E，GF⊥BC于点F，连接AG. (2)若正方形ABCD的边长为1， ∠AGF＝105°，求线段BG的长． 如图，作AH⊥BD于点H，由题意易知∠AGB＝60°，∠ABG＝45°，所以∠BAH＝45°＝∠ABG， ∠GAH＝30°.所以AH＝BH，AG＝2HG. 因为AB＝1，所以在Rt△ABH中， 由勾股定理可得AH＝BH＝ . 在Rt△AGH中，由勾股定理可得 HG＝ .所以BG＝ . 返回 3．(中考·铜仁)如图，在正方形ABCD中，AB＝6，点E在边CD上，且CE＝2DE.将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG，CF. 3 类型 利用正方形的性质解决相关问题 下列结论： ①△ABG≌△AFG； ②BG＝GC； ③EG＝DE＋BG； ④AG∥CF； ⑤S△FGC＝3.6. 其中正确结论的个数是(　　) A．2　　　　B．3　　　　C．4　　　　D．5 D 返回 4．如图，P，Q，R，S四个小球分别从正方形的四个顶点A，B，C，D同时出发，以同样的速度分别沿AB，BC，CD，DA的方向滚动， 其终点分别是B，C，D，A. (1)不管滚动多长时间，求证：连接四 个小球所得的四边形PQRS总是正方形； 4 类型 正方形性质与判定的综合运用 ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB＝BC＝CD＝DA. 又∵在任何运动时刻，AP＝BQ＝CR＝DS， ∴PB＝QC＝RD＝SA. ∴△ASP≌△BPQ≌△CQR≌△DRS. ∴PS＝QP＝RQ＝SR，∠ASP＝∠BPQ. ∴在任何运动时刻，四边形PQRS是菱形． 证明： 又∵∠APS＋∠ASP＝90°， ∴∠APS＋∠BPQ＝90°. ∴∠QPS＝180°－(∠APS＋∠BPQ) ＝180°－90°＝90°. ∴在任何运动时刻，四边形PQRS总是正方形． 4．如图，P，Q，R，S四个小球分别从正方形的四个顶点A，B，C，D同时出发，以同样的速度分别沿AB，BC，CD，DA的方向滚动， 其终点分别是B，C，D，A. (2)四边形PQRS在什么时候面积最大？ 当P，Q，R，S在出发时或在到达终点时面积最大，此时的面积就等于原正方形ABCD的面积． 返回 解：