10.2　排列与组合.docx

10.2　排列与组合 [知识梳理]1．排列与组合的概念2．排列数与组合数(1)排列数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用A表示．(2)组合数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用C表示．3．排列数、组合数的公式及性质公式(1)A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝(2)C＝＝＝性质(1)0！＝1；A＝n!(2)C＝C；C＝C＋C4．常用结论(1)①A＝(n－m＋1)A；②A＝A；③A＝nA.(2)①nA＝A－A；②A＝A＋mA.(3)1！＋2·2！＋3·3！＋…＋n·n！＝(n＋1)！－1.(4)①C＝C；②C＝C；③C＝C.(5)①kC＝nC；②C＋C＋C＋…＋C＝C.[诊断自测]1．概念思辨(1)从1,2,3，…，9任取两个不同的数，分别填入和式□＋□中求和有多少个不同的结果？此题属于排列问题．(　)(2)从2,4,6,8任取两个数，分别作对数“log□□”的底数、真数，有多少个不同的对数值？此题属于排列问题．(　)(3)甲、乙、丙、丁四个好朋友相互发微信，共有多少条微信？此题属于组合问题．(　)(4)若组合式C＝C，则x＝m成立．(　)答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)×　 　2．教材衍化(1)(选修A2－3P18例3)6名同学排成一排，其中甲、乙两人必须排在一起的不同排法有(　)A．720种 B．360种 C．240种 D．120种答案　C解析　先把甲、乙两人“捆绑”在一起看成一个人，因而有A种不同排法，再把两人“松绑”，两人之间有A种排法，因此所求不同排法总数为AA＝240.故选C.(2)(选修A2－3P28A组T17)从4名男同学和3名女同学中选出3名参加某项活动，则男女生都有的选法种数是(　)A．18 B．24 C．30 D．36答案　C解析　解法一：选出的3人中有2名男同学1名女同学的方法有CC＝18种，选出的3人中有1名男同学2名女同学的方法有CC＝12种，故3名学生中男女生都有的选法有CC＋CC＝30种．故选C.解法二：从7名同学中任选3名的方法数，再减去所选3名同学全是男生或全是女生的方法数，即C－C－C＝30.故选C.3．小题热身(1)某学校要召开期末考试总结表彰会，准备从甲、乙等7名受表彰的学生中选派4人发言，要求甲、乙2名同学至少有1人参加，那么不同的发言种数为(　)A．840 B．720 C．600 D．30答案　B解析　由题知可分两种情况．第一种：甲、乙2人中恰有1人参加，方法种数为C·C·A＝480，第二种：甲、乙2人同时参加，方法种数为C·A＝240.根据分类计数原理，不同的发言种数为480＋240＝720.故选B.(2)从1,3,5,7中任取2个数字，从0,2,4,6,8中任取2个数字，组成没有重复数字的四位数，其中能被5整除的四位数共有________个．答案　300解析　符合条件的四位数的个位必须是0或5，但0不能排在首位，故0是其中的特殊元素，应优先安排．按照0排在个位，0排在十、百位和不含0为标准分为三类：①0排在个位能被5整除的四位数有A·(CC)A＝144个；②0排在十、百位，但5必须排在个位有A·A(CC)·A＝48个；③不含0，但5必须排在个位有A· (CC)A＝108个．由分类加法计数原理得所求四位数共有300个．题型1　排列问题　7位同学站成一排：(1)其中甲站在中间的位置，共有多少种不同的排法？(2)甲、乙只能站在两端的排法共有多少种？(3)甲不排头、乙不排尾的排法共有多少种？(4)甲、乙两同学必须相邻的排法共有多少种？(5)甲、乙两同学必须相邻，而且丙不能站在排头和排尾的排法有多少种？(6)甲、乙两同学不能相邻的排法共有多少种？(7)甲总在乙的前面的排法有多少种？解　(1)其中甲站在中间的位置，共有A＝720种不同的排法．(2)甲、乙只能站在两端的排法共有AA＝240种．(3)7位同学站成一排，共有A种不同的排法；甲排头，共有A种不同的排法；乙排尾，共有A种不同的排法；甲排头且乙排尾，共有A种不同的排法；故共有A－2A＋A＝3720种不同的排法．(4)先将甲、乙两位同学“捆绑”在一起看成一个元素与其余的5个元素(同学)一起进行全排列有A种方法；再将甲、乙两个同学“松绑”进行排列有A种方法，所以这样的排法一共有AA＝1440种．(5)甲、乙两同学必须相邻，而且丙不能站在排头和排尾的排法有：解法一：将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素，此时一共有6个元素，因为丙不能站在排头和排尾，所以可以从其余的5个元素中选取2个元素放在排头和排尾，有A种方法；将剩下的4个元素进行全排列有A种方法；最后将甲、乙