10.7　离散型随机变量及其分布列.docx

10.7　离散型随机变量及其分布列[知识梳理]1．离散型随机变量随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量，常用字母X，Y，ξ，η，…表示．所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量．2．离散型随机变量的分布列及性质(1)一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，则表Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn称为离散型随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列，有时为了表达简单，也用等式P(X＝xi)＝pi，i＝1,2，…，n表示X的分布列．(2)离散型随机变量的分布列的性质①pi≥0(i＝1,2，…，n)；②.3．常见离散型随机变量的分布列(1)两点分布若随机变量X服从两点分布，即其分布列为X01P1－pp，其中p＝P(X＝1)称为成功概率．(2)超几何分布在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则P(X＝k)＝，k＝0,1,2，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*.X01…mP…如果随机变量X的分布列具有上表的形式，则称随机变量X服从超几何分布．[诊断自测]1．概念思辨(1)随机试验的结果与随机变量是一种映射关系，即每一个试验结果都有唯一的随机变量的值与之对应. (　)(2)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的．(　)(3)离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和．(　)(4)若随机变量X的分布列由下表给出，X25P0.30.7则它服从两点分布．(　)答案　(1)√　(2)√　(3)√　(4)×2．教材衍化(1)(选修A2－3P49A组T5)设离散型随机变量ξ的分布列如下：ξ1234P则P＝________.答案　解析　P＝P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)＝＋＝.(2)(选修A2－3P49T3)从一副52张(去掉两张王)的扑克牌中任取5张，其中黑桃张数的概率分布公式是________，黑桃不多于1张的概率是________．答案　P(ξ＝k)＝(k＝0,1,2,3,4,5)　0.633解析　P(ξ＝k)＝(k＝0,1,2,3,4,5)；P(ξ≤1)＝P(ξ＝0)＋P(ξ＝1)≈0.222＋0.411＝0.633.3．小题热身(1)袋中有除标号不同外其余均相同的5个钢球，分别标有1,2,3,4,5五个号码．在有放回地抽取条件下依次取出2个球，设两个球号码之和为随机变量ξ，则ξ所有可能值的个数是(　)A．25 B．10 C．9 D．5答案　C解析　第一次可取号码为1,2,3,4,5中的任意一个，由于是有放回地抽取，第二次也可取号码为1,2,3,4,5中的任何一个，两个球的号码之和可能为2,3,4,5,6,7,8,9,10.故选C.(2)(2018·安康质检)设随机变量X的概率分布列为X1234Pm则P(|X－3|＝1)＝________.答案　解析　由＋m＋＋＝1，解得m＝，P(|X－3|＝1)＝P(X＝2)＋P(X＝4)＝＋＝.题型1　离散型随机变量分布列的性质　设随机变量ξ的分布列P＝ak(k＝1,2,3,4,5)．(1)求常数a的值；(2)求P；(3)求P.解　由已知分布列为：ξPa2a3a4a5a(1)由a＋2a＋3a＋4a＋5a＝1，得a＝.(2)P＝P＋P＋P(ξ＝1)＝＋＋＝，或P＝1－P＝1－＝.(3)因为ξ只有ξ＝，，满足，故P＝P＋P＋P＝＋＋＝.[条件探究1]　若将典例条件“P＝ak，k＝1,2,3,4,5”变为“P(ξ＝i)＝ai，i＝1,2,3”，求a的值．解　∵P(ξ＝i)＝ai(i＝1,2,3)∴a＋a＋a＝1，得a＝.[条件探究2]　若将典例条件变为“P(ξ＝n)＝(n＝1,2,3,4)．”求P的值．解　∵P(ξ＝n)＝.∴＋＋＋＝1，∴a＝.P＝P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)＝.方法技巧1．分布列性质的两个作用(1)利用分布列中各事件概率之和为1可求参数的值及检查分布列的正确性．(2)随机变量X所取的值分别对应的事件是两两互斥的，利用这一点可以求随机变量在某个范围内的概率．提醒：求分布列中的参数值时，要保证每个概率值均为非负数．2．随机变量X的线性组合的概率及分布列问题(1)随机变量X的线性组合η＝aX＋b(a，b∈R)是随机变量．(2)求η＝aX＋b的分布列可先求出相应随机变量的值，再根据对应的概率写出分布列．冲关针对训练1．随机变量X的分布列如下：X－101Pabc其中a，b，c成等差数列，则P(|X|＝1)＝________.答案　解析　a、b、c成等差数列，2b＝a＋c，又a＋b＋c＝1，∴b＝，∴P(|X|＝1)＝a＋c＝.2．设离散型随机变量X的分布列为X01234P0.20.10.10.3m求