10．1　分类加法计数原理与分步乘法计数原理.docx

10．1　分类加法计数原理与分步乘法计数原理 [知识梳理]1．两个计数原理分类加法计数原理分步乘法计数原理条件完成一件事有几类不同的方案．在第1类方案中有m1种不同的方法，在第2类方案中有m2种不同的方法……在第n类方案中有mn种不同的方法完成一件事需要n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法……做第n步有mn种不同的方法结论完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋mn种方法完成这件事共有N＝m1×m2×…×mn种方法2．两个计数原理的区别与联系[诊断自测]1．概念思辨(1)在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同．(　)(2)在分步乘法计数原理中，只有各个步骤都完成后，这件事情才算完成．(　)(3)在分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的．(　)(4)如果完成一件事情有n个不同的步骤，在每一步中都有若干种不同的方法mi(i＝1,2,3，…，n)，那么完成这件事共有m1m2m3…mn种方法．(　)答案　(1)×　(2)√　(3)√　(4)√2．教材衍化(1)(选修A2－3P10T4)某公共汽车上有10名乘客，沿途有5个车站，乘客下车的可能方式有(　)A．510种 B．105种C．50种 D．以上都不对答案　A解析　要完成这件事可分10步，即10名乘客分别选一个车站下车，由于每个乘客都有5个车站进行选择，由分步乘法计数原理知，乘客下车的可能方式有N＝＝510(种)．故选A.(2)(选修A2－3P10T1)某种彩票规定：从01至36共36个号中抽出7个号为一注，每注2元，某人想从01至10中选3个连续的号，从11到20中选2个连续的号，从21至30中选1个号，从31至36中选1个号组成一注，则这人把这种特殊要求的号买全，至少要花(　)A．3360元 B．6720元 C．4320元 D．8640元答案　D解析　这种特殊要求的号共有8×9×10×6＝4320(注)，因此至少需花费4320×2＝8640(元)，所以选D.3．小题热身(1)(2018·杭州质检)从集合{1,2,3，…，10}中任意选出三个不同的数，使这三个数成等比数列，这样的等比数列的个数为(　)A．3 B．4 C．6 D．8答案　D解析　当公比为2时，等比数列可为1,2,4或2,4,8；当公比为3时，等比数列可为1,3,9；当公比为时，等比数列可为4,6,9.同理，公比为，，时，也有4个．故根据分类加法计数原理共有8个等比数列．故选D.(2)现有4种不同颜色要对如图所示的四个部分进行着色，要求有公共边界的两块不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有(　)A．24种 B．30种C．36种 D．48种答案　D解析　需要先给C块着色，有4种结果；再给A块着色，有3种结果；再给B块着色，有2种结果；最后给D块着色，有2种结果，由分步乘法计数原理知共有4×3×2×2＝48(种)．故选D.题型1　分类加法计数原理的应用　三个人踢毽子，互相传递，每人每次只能踢一下，由甲开始踢，经过4次传递后，毽子又被踢回给甲，则不同的传递方式共有(　)A．4种 B．6种 C．10种 D．16种本题用树状图法．答案　B解析　分两类：甲第一次踢给乙时，满足条件有3种方法(如图)，甲乙丙乙甲甲乙甲丙甲同理，甲先传给丙时，满足条件有3种踢法．由分类加法计数原理，共有3＋3＝6种传递方法．故选B.方法技巧1．分类加法计数原理的用法及要求(1)用法：应用分类加法计数原理进行计数时，需要根据完成事件的特点，将要完成一件事的方法进行“分类”计算．(2)要求：各类的方法相互独立，每类中的各种方法也相互独立，用任何一类中的任何一种方法都可以单独完成这件事．2．使用分类加法计数原理遵循的原则有时分类的划分标准有多个，但不论是以哪一个为标准，都应遵循“标准要明确，不重不漏”的原则．提醒：对于分类类型较多，而其对立事件包含的类型较少的可用间接法求解．冲关针对训练(2018·信阳期末)用10元、5元和1元来支付20元钱的书款，不同的支付方法有(　)A．3种 B．5种 C．9种 D．12种答案　C解析　用10元、5元和1元来支付20元钱的书款，有以下几类办法：①用2张10元钱支付；②用1张10元钱和2张5元钱支付；③用1张10元钱、1张5元钱和5张1元钱支付；④用1张10元钱和10张1元钱支付；⑤用1张5元钱和15张1元钱支付；⑥用2张5元钱和10张1元钱支付；⑦用3张5元钱和5张1元钱支付；⑧用4张5元钱支付；⑨用20张1元钱支付．故共有9种方法．故选C.　 　题型2　分步乘法计数原理　从2,3,4,5,6,7,8,9这8个数中任取2个不同的数分别作为一个对数的底数和真数，则可以组成不同对数值的个数为(　)A．56 B．54 C．53 D．52答案　D解析　第一步选取