11.2　数系的扩充与复数的引入.docx

11.2　数系的扩充与复数的引入[知识梳理]1．复数的有关概念2．复数的几何意义复数集C和复平面内所有的点组成的集合是一一对应的，复数集C与复平面内所有以原点O为起点的向量组成的集合也是一一对应的，即(1)复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b)(a，b∈R)．(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)平面向量.3．复数代数形式的四则运算(1)运算法则设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则(2)复数加法的运算定律复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．(3)复数乘法的运算定律复数的乘法满足交换律、结合律、分配律，即对于任意z1，z2，z3∈C，有z1·z2＝z2·z1，(z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3)，z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3.(4)复数加、减法的几何意义①复数加法的几何意义：若复数z1，z2对应的向量，不共线，则复数z1＋z2是以，为两邻边的平行四边形的对角线所对应的复数．②复数减法的几何意义：复数z1－z2是－＝所对应的复数．4．模的运算性质：①|z|2＝||2＝z·；②|z1·z2|＝|z1||z2|；③＝.[诊断自测]1．概念思辨(1)关于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a，b，c∈R且a≠0)一定有两个根．(　　)(2)若复数a＋bi中a＝0，则此复数必是纯虚数．(　　)(3)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小．(　　)(4)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模．(　　)答案　(1)√　(2)×　(3)×　(4)√2．教材衍化(1)(选修A1－2P63A组T1(3))在复平面内，复数z＝(i为虚数单位)对应的点位于(　　)A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限答案　D解析　z＝＝＝－i，其对应的点为，在第四象限．故选D.(2)(选修A1－2P61A组T3)在复平面内，复数6＋5i，－2＋3i对应的点分别为A，B.若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是(　　)A．4＋8i B．8＋2i C．2＋4i D．4＋i答案　C解析　∵A(6,5)，B(－2,3)，∴线段AB的中点C(2,4)，则点C对应的复数为z＝2＋4i.故选C.3．小题热身(1)(2017·全国卷Ⅱ)＝(　　)A．1＋2i B．1－2i C．2＋i D．2－i答案　D解析　＝＝＝2－i.故选D.(2)(2015·全国卷Ⅰ)设复数z满足＝i，则|z|＝(　　)A．1 B. C. D．2答案　A解析　由已知＝i，可得z＝＝＝＝i，∴|z|＝|i|＝1，故选A.题型1　复数的有关概念　　已知x，y为共轭复数，且(x＋y)2－3xyi＝4－6i，求x，y.复数问题实数化．解　设x＝a＋bi(a，b∈R)，则y＝a－bi，x＋y＝2a，xy＝a2＋b2，代入原式，得(2a)2－3(a2＋b2)i＝4－6i，根据复数相等得解得或或或故所求复数为或或或方法技巧有关复数的基本概念问题的关键因为复数的分类、相等、模、共轭复数等问题都与实部与虚部有关，所以处理复数有关基本概念问题的关键是找准复数的实部和虚部，即转化为a＋bi(a，b∈R)的形式，再从定义出发，把复数问题转化成实数问题来处理．见典例．冲关针对训练(2018·山西四校联考)i是虚数单位，若＝a＋bi(a，b∈R)，则lg (a＋b)的值是(　　)A．－2 B．－1 C．0 D.答案　C解析　因为＝＝－，所以a＝，b＝－，a＋b＝1，所以lg (a＋b)＝0，故选C.题型2　复数的几何意义　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(2016·全国卷Ⅱ)已知z＝(m＋3)＋(m－1)i在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是(　　)A．(－3,1) B．(－1,3)C．(1，＋∞) D．(－∞，－3)根据复数z＝a＋bi(a，b∈R)的几何意义，写出不等式求解．答案　A解析　由已知可得??－3m1.故选A.[条件探究1]　若将典例1中条件“z＝(m＋3)＋(m－1)i在复平面内对应的点在第四象限”变为“复数z的共轭复数＝1＋2i(i为虚数单位)”，则复数z在复平面内对应的点在第几象限？解　由条件知z＝1－2i，其在复平面内对应的点为(1，－2)，在第四象限．[条件探究2]　若将典例1中条件变为“复数(1－i)(a＋i)在复平面内对应的点在第二象限”，求实数a的取值范围．解　∵复数(1－i)(a＋i)＝a＋1＋(1－a)i在复平面内对应的点在第二象限，∴∴a－1.即实数a的取值范围是(－∞，－1)．　　(2017·全国卷Ⅲ)设复数z满足(1＋i)z＝2i，则|z|＝(　　)A. B.